《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 9】已知$0 ＜ x ＜ y ＜ z ＜ \dfrac{\pi }{2}$，证明：$\dfrac{\pi }{2} + 2\sin x\cos y + 2\sin y\cos z ＞ 2\sin x\cos x + 2\sin y\cos y + 2\sin z\cos z$。

答案：
解析 在直角坐标系中，作出角$x$，$y$，$z$的终边与单位圆分别交于$A$，$B$，$C$三点，过点$A$，$B$，$C$分别作$x$轴的垂线，垂足分别是$A_{1}$，$B_{1}$，$C_{1}$，过点$A$，$B$，$C$分别作$BB_{1}$，$CC_{1}$，$y$轴的垂线，垂足分别是$D$，$E$，$F$，
则$S_{矩形AA_{1}B_{1}D} = |A_{1}A|· |B_{1}A_{1}| = |A_{1}A|· (|OA_{1}| - |OB_{1}|) = \sin x· (\cos x - \cos y)$。
同理，$S_{矩形BB_{1}C_{1}E} = \sin y· (\cos y - \cos z)$，$S_{矩形CC_{1}OF} = \sin z· \cos z$。
因为$S_{矩形AA_{1}B_{1}D} + S_{矩形BB_{1}C_{1}E} + S_{矩形CC_{1}OF} ＜ \dfrac{\pi }{4}$，
所以$\sin x· (\cos x - \cos y) + \sin y· (\cos y - \cos z) + \sin z· \cos z ＜ \dfrac{\pi }{4}$。
即$\dfrac{\pi }{2} + 2\sin x\cos y + 2\sin y\cos z ＞ 2\sin x\cos x + 2\sin y\cos y + 2\sin z\cos z$。

【例 10】设$a$，$b$，$c$，$d$是正实数，并且$\dfrac{a^{2}}{1 + a^{2}} + \dfrac{b^{2}}{1 + b^{2}} + \dfrac{c^{2}}{1 + c^{2}} + \dfrac{d^{2}}{1 + d^{2}} = 1$，求证：$abcd \leqslant \dfrac{1}{9}$。

答案： 证明：作三角代换，设$a = \tan \alpha_1$，$b = \tan \alpha_2$，$c = \tan \alpha_3$，$d = \tan \alpha_4$，其中$\alpha_i \in \left(0,\dfrac{\pi }{2}\right)$，$i = 1$，$2$，$3$，$4$，
则$\sin ^{2}\alpha_1 + \sin ^{2}\alpha_2 + \sin ^{2}\alpha_3 + \sin ^{2}\alpha_4 = 1$。
利用均值不等式有$3\sqrt[3]{\sin ^{2}\alpha_2· \sin ^{2}\alpha_3· \sin ^{2}\alpha_4} \leqslant \sin ^{2}\alpha_2 + \sin ^{2}\alpha_3 + \sin ^{2}\alpha_4 = \cos ^{2}\alpha_1$，
同理可得$3\sqrt[3]{\sin ^{2}\alpha_1· \sin ^{2}\alpha_3· \sin ^{2}\alpha_4} \leqslant \cos ^{2}\alpha_2$，$3\sqrt[3]{\sin ^{2}\alpha_1· \sin ^{2}\alpha_2· \sin ^{2}\alpha_4} \leqslant \cos ^{2}\alpha_3$，$3\sqrt[3]{\sin ^{2}\alpha_1· \sin ^{2}\alpha_2· \sin ^{2}\alpha_3} \leqslant \cos ^{2}\alpha_4$。
将上述式子累乘可得$3^{4}\prod_{i = 1}^{4}\sin ^{2}\alpha_i \leqslant \prod_{i = 1}^{4}\cos ^{2}\alpha_i$，
进而$\left(\prod_{i = 1}^{4}\tan \alpha_i\right)^{2} \leqslant \dfrac{1}{3^{4}}$，
因此$\prod_{i = 1}^{4}\tan \alpha_i \leqslant \dfrac{1}{9}$，即$abcd \leqslant \dfrac{1}{9}$。
1；2；3；4；i；1；2；3；4；2；3；4；2；3；4；1；i；i；i；i

1. 已知角$\alpha$的终边经过点$(m,2)$，且$\cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则实数$m =$(D)

A.$-\sqrt{3}$
B.$\pm 2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{3}$

答案： 1. 解析:由题意得$\frac{m}{\sqrt{m^{2}+2^{2}}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$m\lt0$，解得$m = 2\sqrt{3}$（舍去），或$m=-2\sqrt{3}$，故选 D.