《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

15. 已知 $ a ＞ b ＞ 0,c ＜ d ＜ 0 $，求证：$(\frac{a}{d})^3＜(\frac{b}{c})^3$。

答案： 15. 解析:$ \left( \frac{a}{d} \right)^3 - \left( \frac{b}{c} \right)^3 = \left( \frac{a}{d} - \frac{b}{c} \right)\left[ \left( \frac{a}{d} \right)^2 + \frac{ab}{cd} + \left( \frac{b}{c} \right)^2 \right] = \frac{ac - bd}{cd} · \left[ \left( \frac{a}{d} \right)^2 + \frac{ab}{cd} + \left( \frac{b}{c} \right)^2 \right] $。由于$ a ＞ b ＞ 0 $，$ c ＜ d ＜ 0 $，则$ cd ＞ 0 $，$ ac ＜ bd $。又$ \left( \frac{a}{d} \right)^2 + \frac{ab}{cd} + \left( \frac{b}{c} \right)^2 = \left( \frac{a}{d} + \frac{b}{2c} \right)^2 + \frac{3b^2}{4c^2} ＞ 0 $，则$ \frac{ac - bd}{cd} · \left[ \left( \frac{a}{d} \right)^2 + \frac{ab}{cd} + \left( \frac{b}{c} \right)^2 \right] ＜ 0 $，即$ \left( \frac{a}{d} \right)^3 ＜ \left( \frac{b}{c} \right)^3 $。

16. 先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定。甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式。已知第一次购物时该物品单价为 $ p_1 $，第二次购物时该物品单价为 $ p_2(p_1\neq p_2) $。甲两次购物的平均价格记为 $ Q_1 $，乙两次购物的平均价格记为 $ Q_2 $。
(1)求 $ Q_1,Q_2 $ 的表达式(用 $ p_1,p_2 $ 表示)；
(2)通过比较 $ Q_1,Q_2 $ 的大小，说明哪种购物方式比较划算。

答案： 16. 解析:
(1)设甲两次购物时购物量均为$ m $，则两次购物总花费为$ p_1m + p_2m $，购物总量为$ 2m $，所以平均价格为$ Q_1 = \frac{p_1m + p_2m}{2m} = \frac{p_1 + p_2}{2} $。设乙两次购物时用去钱数均为$ n $，则两次购物总花费$ 2n $，购物总量为$ \frac{n}{p_1} + \frac{n}{p_2} $，所以平均价格为$ Q_2 = \frac{2n}{\frac{n}{p_1} + \frac{n}{p_2}} = \frac{2p_1p_2}{p_1 + p_2} $。
(2)由于$ p_1 \neq p_2 $，则$ Q_1 - Q_2 = \frac{p_1 + p_2}{2} - \frac{2p_1p_2}{p_1 + p_2} = \frac{(p_1 - p_2)^2}{2(p_1 + p_2)} ＞ 0 $，即$ Q_1 ＞ Q_2 $。答:第二种购物方式比较划算。

17. 若 $ a ＞ b ＞ 0,c ＜ d ＜ 0,|b| ＞ |c| $。
(1)求证：$ b + c ＞ 0 $；
(2)求证：$\frac{b + c}{(a - c)^2}＜\frac{a + d}{(b - d)^2}$；
(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式 $ M $，满足 $ \frac{b + c}{(a - c)^2}＜M＜\frac{a + d}{(b - d)^2} $？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由。

答案： 17. 解析:
(1)因为$ |b| ＞ |c| $，且$ b ＞ 0 $，$ c ＜ 0 $，所以$ b ＞ -c $，即$ b + c ＞ 0 $。
(2)因为$ c ＜ d ＜ 0 $，所以$ -c ＞ -d ＞ 0 $。又因为$ a ＞ b ＞ 0 $，则$ a - c ＞ b - d ＞ 0 $，即$ (a - c)^2 ＞ (b - d)^2 ＞ 0 $，$ 0 ＜ \frac{1}{(a - c)^2} ＜ \frac{1}{(b - d)^2} $。因为$ a ＞ b $，$ d ＞ c $，则$ a + d ＞ b + c $。由
(1)知$ b + c ＞ 0 $，则$ a + d ＞ b + c ＞ 0 $，从而$ \frac{b + c}{(a - c)^2} ＜ \frac{a + d}{(b - d)^2} $。
(3)因为$ b + c ＞ 0 $，$ 0 ＜ \frac{1}{(a - c)^2} ＜ \frac{1}{(b - d)^2} $，所以$ \frac{b + c}{(a - c)^2} ＜ \frac{b + c}{(b - d)^2} $。因为$ 0 ＜ b + c ＜ a + d $，$ \frac{1}{(b - d)^2} ＞ 0 $，所以$ \frac{b + c}{(b - d)^2} ＜ \frac{a + d}{(b - d)^2} $，所以$ \frac{b + c}{(a - c)^2} ＜ \frac{b + c}{(b - d)^2} ＜ \frac{a + d}{(b - d)^2} $。所以能找到一个代数式$ \frac{b + c}{(b - d)^2} $满足题意。