《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

【例 5】若 $ |x - a| ＜ 1 $ 成立的充分不必要条件是 $ 1 ＜ x ＜ \frac{3}{2} $，则 $ a $ 的取值范围是。

答案： 由$|x - a| ＜ 1$得$a - 1 ＜ x ＜ a + 1$。因为$1 ＜ x ＜ \frac{3}{2}$是$|x - a| ＜ 1$成立的充分不必要条件，所以$\left(1, \frac{3}{2}\right)$是$(a - 1, a + 1)$的真子集，故$\begin{cases}a - 1 \leq 1 \\ \frac{3}{2} \leq a + 1\end{cases}$（等号不同时成立）。
解$a - 1 \leq 1$得$a \leq 2$；解$\frac{3}{2} \leq a + 1$得$a \geq \frac{1}{2}$。
综上，$a$的取值范围是$\left[\frac{1}{2}, 2\right]$。
$\boxed{\left[\frac{1}{2}, 2\right]}$

【例 6】求证：关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + 2x + 1 = 0 $ 至少有一个负根的充要条件是 $ a \leq 1 $。

答案： 充分性：
当$a=0$时，方程为$2x + 1 = 0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，有负根；
当$a＜0$时，方程为二次方程，$\Delta=4 - 4a＞0$，两根之积$\frac{1}{a}＜0$，两根一正一负，有负根；
当$0＜a\leq1$时，$\Delta=4 - 4a\geq0$，两根之和$-\frac{2}{a}＜0$，两根之积$\frac{1}{a}＞0$，两根均负，有负根。
综上，$a\leq1$时方程至少有一个负根。
必要性：
若方程至少有一个负根，
当$a=0$时，方程有负根，此时$a=0\leq1$；
当$a\neq0$时，方程为二次方程，
若两根一正一负，则$\frac{1}{a}＜0$，得$a＜0$；
若两根均负，则$\begin{cases}\Delta=4 - 4a\geq0\\-\frac{2}{a}＜0\frac{1}{a}＞0\end{cases}$，解得$0＜a\leq1$。
综上，$a\leq1$。
故方程至少有一个负根的充要条件是$a\leq1$。

1. 设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1. 解析:因为乙的充分不必要条件是甲，所以甲$\Rightarrow$乙。因为乙是丙的充要条件，所以乙$\Leftrightarrow$丙。因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙$\Rightarrow$丁，所以甲$\Rightarrow$丁，所以甲是丁的充分不必要条件。故选A。