《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

17. 已知函数 $ f(x) = \sqrt{3^{x} - 1} + 1 $。
(1) 求函数 $ y = f(x) $ 的定义域和值域；
(2) 若函数 $ g(x) = 3^{x} - tf(x)(t \in \mathbf{R}) $ 的图象与 $ x $ 轴有两个交点，求实数 $ t $ 的取值范围。

答案： 17. 解析:
(1)因为$3^{x}\geq1,x\geq0$,所以$f(x)=\sqrt{3^{x}-1}+1\geq1$,故$y = f(x)$的定义域为$[0,+\infty)$,值域为$[1,+\infty)$.
(2)令$g(x)=0$,则$3^{x}=t(\sqrt{3^{x}-1}+1)$.令$m=\sqrt{3^{x}-1}\geq0$,易得$m=\sqrt{3^{x}-1}$在$[0,+\infty)$上单调递增,则$3^{x}=m^{2}+1$,则$m^{2}+1=t(m + 1)$,所以$t=\frac{m^{2}+1}{m + 1},m\geq0$.因为$t=\frac{m^{2}+1}{m + 1}=\frac{(m + 1 - 1)^{2}+1}{m + 1}=\frac{(m + 1)^{2}-2(m + 1)+2}{m + 1}=m + 1+\frac{2}{m + 1}-2\geq2\sqrt{2}-2$,当且仅当$m + 1=\sqrt{2}$,即$m=\sqrt{2}-1$时取等号.结合对勾函数图象性质可知,函数$g(x)=3^{x}-tf(x)(t\in\mathbf{R})$有两个零点时,$t\in(2\sqrt{2}-2,1]$.

18. 定义在区间 $ D $ 上的函数 $ f(x) $，如果满足：$ \forall x \in D $，存在常数 $ M ＞ 0 $，使得 $ |f(x)| \leqslant M $，则称 $ f(x) $ 是 $ D $ 上的“有界函数”，其中 $ M $ 称为 $ f(x) $ 的一个“上界”。
已知函数 $ f(x) = 1 + a · \left( \frac{1}{2} \right)^{x} + \left( \frac{1}{4} \right)^{x} $。
(1) 若 $ a = 0 $，$ g(x) = f(x) - 3 $，试判断函数 $ g(x) $ 在 $ [-1,0] $ 上是否为有界函数，说明理由；
(2) 若函数 $ f(x) $ 在 $ [0, +\infty) $ 上是以 $ 7 $ 为一个“上界”的“有界函数”，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 18. 解析:
(1)当$a = 0$时,$f(x)=\left( \frac{1}{4}\right)^{x}+1$,又$x\in[-1,0]$,所以$\left( \frac{1}{4}\right)^{x}\in[1,4]$,于是$g(x)=\left( \frac{1}{4}\right)^{x}-2\in[-1,2]$,所以$|g(x)|\leq2$,$g(x)$是“有界函数”,2为它的一个“上界”.
(2)$|f(x)|=\left| 1 + a·\left( \frac{1}{2}\right)^{x}+\left( \frac{1}{4}\right)^{x}\right|\leq7$对$x\in[0,+\infty)$恒成立.令$\left( \frac{1}{2}\right)^{x}=t,t\in(0,1]$,则$h(t)=t^{2}+at + 1$,于是$|h(t)|=|t^{2}+at + 1|\leq7$对$t\in(0,1]$恒成立,即$-7\leq t^{2}+at + 1\leq7$对$t\in(0,1]$恒成立,即$-t-\frac{8}{t}\leq a\leq -t+\frac{6}{t}$对$t\in(0,1]$恒成立,即$\left( -t-\frac{8}{t}\right)_{\max}\leq a\leq\left( -t+\frac{6}{t}\right)_{\min}$,而$\left( -t-\frac{8}{t}\right)_{\max}=-9$,$\left( -t+\frac{6}{t}\right)_{\min}=5$,所以$-9\leq a\leq5$.

19. 已知函数 $ f(x) = a^{x} - a^{-x}(a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1) $。
(1) 若 $ f(1) ＜ 0 $，对任意 $ x \in [0, +\infty) $，$ af(x^{2} - kx - 2k) + 1 \leqslant a^{2} $ 恒成立，求 $ k $ 的最大值；
(2) 若 $ f(1) = \frac{3}{2} $，函数 $ g(x) $ 满足 $ f(2x) + f(-x)g(x) = 0(x \neq 0) $，求实数 $ m $ 的取值，并讨论关于 $ x $ 的方程 $ mg(x) = g(2x) + 10 $ 的实数根的个数。

答案： 19. 解析:
(1)由$f(1)＜0$解得$0＜a＜1$,所以$f(x)=a^{x}-a^{-x}$在$[0,+\infty)$上单调递减.$af(x^{2}-kx - 2k)+1\leq a^{2}$即$f(x^{2}-kx - 2k)\leq a-\frac{1}{a}=f(1)$,转化为$x^{2}-kx - 2k\geq1$对$x\in[0,+\infty)$恒成立.参变量分离:$k\leq\frac{x^{2}-1}{x + 2}$对$x\in[0,+\infty)$恒成立.令$t = x + 2(t\geq2)$,则$h(t)=t+\frac{3}{t}-4\geq-\frac{1}{2}$,当$t = 2$时等号成立,所以$k\leq-\frac{1}{2}$,所以$k$的最大值为$-\frac{1}{2}$.
(2)由$f(1)=\frac{3}{2}$得$a = 2$.故$f(x)=2^{x}-2^{-x}$,$g(x)=2^{x}+2^{-x}(x\neq0)$.即讨论关于$x$的方程$m(2^{x}+2^{-x})=2^{2x}+2^{-2x}+10$的实数根的个数.令$u = 2^{x}+2^{-x}(u＞2)$,则$u^{2}-mu + 8 = 0$,即$m = u+\frac{8}{u}$ ①.即讨论当$u＞2$时,直线$y = m$与函数$y = u+\frac{8}{u}$的图象的交点个数.当$m\geq6$或$m = 4\sqrt{2}$时,方程①有一个解,原方程有两个解;当$4\sqrt{2}＜m＜6$时,方程①有两个解,原方程有四个解;当$m＜4\sqrt{2}$时,方程①无实数解,此时原方程无实数解.