《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

20. 已知函数 $ f(x) = a^{x} - \frac{1}{a^{x}}(a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1) $。
(1) 若 $ a ＞ 1 $，不等式 $ f(x^{2} + bx) + f(4 - x) ＞ 0 $ 在 $ x \in \mathbf{R} $ 上恒成立，求实数 $ b $ 的取值范围；
(2) 若 $ f(1) = \frac{3}{2} $ 且 $ h(x) = a^{2x} + \frac{1}{a^{2x}} - 2mf(x) $ 在 $ [1, +\infty) $ 上的最小值为 $ -2 $，求 $ m $ 的值。

答案： 20. 解析:
(1)$\forall x\in\mathbf{R}$,$f(-x)=a^{-x}-\frac{1}{a^{-x}}=\frac{1}{a^{x}}-a^{x}=-f(x)$,即$f(x)$是$\mathbf{R}$上的奇函数.当$a＞1$时,由复合函数单调性可知$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增.因为$f(x^{2}+bx)+f(4 - x)＞0$,所以$f(x^{2}+bx)＞-f(4 - x)=f(x - 4)$,即$x^{2}+bx＞x - 4$,因此,$x^{2}+(b - 1)x + 4＞0$对$x\in\mathbf{R}$恒成立,故$\Delta=(b - 1)^{2}-16=(b - 5)(b + 3)＜0$,解得$-3＜b＜5$.
(2)因为$f(1)=\frac{3}{2}$,且$a＞0$,解得$a = 2$.因此,$h(x)=2^{2x}+\frac{1}{2^{2x}}-2m\left( 2^{x}-\frac{1}{2^{x}}\right)=\left( 2^{x}-\frac{1}{2^{x}}\right)^{2}+2-2m\left( 2^{x}-\frac{1}{2^{x}}\right)$,当$x\in[1,+\infty)$时,$2^{x}-\frac{1}{2^{x}}\geq f(1)=\frac{3}{2}$,令$t = 2^{x}-\frac{1}{2^{x}},t\geq\frac{3}{2}$,则$g(t)=t^{2}-2mt + 2$,函数图象对称轴$t = m$,若$m\leq\frac{3}{2}$,则$g(t)_{\min}=g\left( \frac{3}{2}\right)=\frac{17}{4}-3m=-2$,解得$m=\frac{25}{12}＞\frac{3}{2}$,矛盾,舍去;若$m＞\frac{3}{2}$,则$g(t)_{\min}=g(m)=2 - m^{2}=-2$,解得$m = 2(m = - 2$舍去).综上,$m = 2$.

21. 已知函数 $ f(x) = a · 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}, a \in \mathbf{R} $。
(1) 根据 $ a $ 的不同取值，判断函数 $ f(x) $ 的奇偶性(只写结论，不需证明)；
(2) 设函数 $ g(x) = f(x) - a · 2^{-x} $，当 $ a ＞ 0 $ 时，对于任意的 $ x_{1} $，$ x_{2} \in [-1,1] $，总有 $ |g(x_{1}) - g(x_{2})| \leqslant \frac{a + 1}{2} $ 成立，求 $ a $ 的取值范围。

答案： 21. 解析:
(1)当$a = 1$时,$f(x)$为偶函数;当$a=-1$时,$f(x)$为奇函数.当$a\neq1$且$a\neq - 1$时,$f(x)$为非奇非偶函数.
(2)$g(x)=a·2^{x}+\frac{1 - a}{2^{x}},x\in[-1,1]$,令$2^{x}=t$,则$h(t)=at+\frac{1 - a}{t},t\in\left[ \frac{1}{2},2\right]$,由题意,有$h(t)_{\max}-h(t)_{\min}\leq\frac{1 + a}{2}$,则$\left| h(2)-h\left( \frac{1}{2}\right)\right|=\left| 3a-\frac{3}{2}\right|\leq\frac{a + 1}{2}$,解得$\frac{2}{7}\leq a\leq\frac{4}{5}$,于是$1 - a＞0$,$\frac{1}{2}\leq\sqrt{\frac{1 - a}{a}}\leq\sqrt{\frac{5}{2}}＜2$,所以$h(t)$在$\left( 0,\sqrt{\frac{1 - a}{a}}\right]$上单调递减,在$\left[ \sqrt{\frac{1 - a}{a}},2\right]$上单调递增.需满足$\begin{cases}h(2)-h\left( \sqrt{\frac{1 - a}{a}}\right)\leq\frac{a + 1}{2}\\h\left( \frac{1}{2}\right)-h\left( \sqrt{\frac{1 - a}{a}}\right)\leq\frac{a + 1}{2}\end{cases}$,解得$\frac{5 - \sqrt{7}}{8}\leq a\leq\frac{4}{5}$.综上,$a$的取值范围是$\frac{5 - \sqrt{7}}{8}\leq a\leq\frac{4}{5}$.

1. 设 $ 0 ＜ a ＜ 1 $，函数 $ f(x) $ 满足：对任意 $ x ＞ 0 $，都有 $ f(\log_{a}x) = \frac{a(x^{2} - 1)}{x(a^{2} - 1)} $，而 $ m ＞ n ＞ 0 $。试比较 $ f\left( \frac{1}{m} \right) $ 与 $ f\left( \frac{1}{n} \right) $ 的大小。

答案： 1. 解析:记$t=\log_{a}x$,则对任意$t\in\mathbf{R}$,都有$f(t)=\frac{a(a^{2t}-1)}{a^{t}(a^{2}-1)}=\frac{a}{1 - a^{2}}\left( \frac{1}{a^{t}}-a^{t}\right)$.由于$0＜a＜1$,$y = a^{t}$是$\mathbf{R}$上的减函数,所以$g(t)=\frac{1}{a^{t}}-a^{t}$是增函数,$f(t)$是$(0,+\infty)$上的增函数.所以$f\left( \frac{1}{n}\right)＞f\left( \frac{1}{m}\right)$.

2. 已知 $ f(x) = \frac{a^{x} + b}{a^{x} - b}(a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，且 $ f(2) = \frac{3}{5} $。设 $ F(x) = \frac{f(2x)}{f(x)} $。
(1) 求 $ a $，$ b $ 的值，并求 $ F(x) $ 的值域；
(2) 把区间 $ (0,2) $ 等分成 $ 2n $ 份，记等分点的横坐标依次为 $ x_{i} $，$ (i = 1,2,3, ·s, 2n - 1) $ 设 $ g(x) = \frac{4}{3} - \frac{2}{2^{x - 1} + 1} $，记 $ H(n) = g(x_{1}) + g(x_{2}) + g(x_{3}) + ·s + g(x_{2n - 1})(n \in \mathbf{N}^{*}) $，是否存在正整数 $ n $，使不等式 $ F(x) \geqslant H(n) $ 有解？若存在，求出所有 $ n $ 的值，若不存在，说明理由。

答案： 2. 解析:
(1)因为$f(x)=\frac{a^{x}+b}{a^{x}-b}(a＞0$且$a\neq1)$是$\mathbf{R}$上的奇函数,且$f(2)=\frac{3}{5}$,所以$\begin{cases}f(0)=\frac{a^{0}+b}{a^{0}-b}=0\\f(2)=\frac{a^{2}+b}{a^{2}-b}=\frac{3}{5}\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = 2\\b=-1\end{cases}$,则$f(x)=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}$.因为$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,且满足$f(-x)=\frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=-\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=-f(x)$,所以$f(x)$是$\mathbf{R}$上的奇函数,故$a = 2$,$b=-1$,此时$F(x)=\frac{f(2x)}{f(x)}=\frac{2^{2x}-1}{2^{2x}+1}×\frac{2^{x}+1}{2^{x}-1}=\frac{(2^{x}+1)^{2}}{2^{2x}+1}=\frac{2^{2x}+1 + 2·2^{x}}{2^{2x}+1}=1+\frac{2}{2^{x}+\frac{1}{2^{x}}}$.因为$F(x)=\frac{f(2x)}{f(x)}$,所以$f(x)=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}\neq0$,故$x\neq0$,所以$2^{x}＞0$,且$2^{x}\neq1$,所以$F(x)=1+\frac{2}{2^{x}+\frac{1}{2^{x}}}\leq1+\frac{2}{2}=2$,当且仅当$2^{x}=\frac{1}{2^{x}}$,即$x = 0$时等号成立,所以$F(x)＜2$.又当$x\in\mathbf{R}$时,$F(x)=1+\frac{2}{2^{x}+\frac{1}{2^{x}}}＞1$,所以$1＜F(x)＜2$,即$F(x)$的值域为$(1,2)$.
(2)把区间$(0,2)$分成$2n$等份,则等分点的横坐标为$x_{i}=\frac{i}{n}.(i = 1,2,3,·s,2n - 1)$$g(x)=\frac{4}{3}-\frac{2}{2^{x - 1}+1}=1-\frac{2}{2^{x - 1}+1}+\frac{1}{3}=f(x - 1)+\frac{1}{3}$,由于$f(x)$为奇函数,所以$g(x)$的图象关于点$\left( 1,\frac{1}{3}\right)$对称,所以$g(x_{i})+g(2 - x_{i})=\frac{2}{3},(i = 1,2,3,·s,2n - 1)$所以$H(n)=g\left( \frac{1}{n}\right)+g\left( \frac{2}{n}\right)+·s+g\left( \frac{2n - 2}{n}\right)+g\left( \frac{2n - 1}{n}\right)=\underbrace{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+·s+\frac{2}{3}}_{n - 1项}+\frac{1}{3}=\frac{2n - 1}{3}$,即$H(n)=\frac{2n - 1}{3}$.由题意,要使得不等式$F(x)\geq H(n)$有解,由于$1＜F(x)＜2$,故需满足$H(n)=\frac{2n - 1}{3}＜2$,解得$n＜\frac{7}{2}$.故存在正整数$n = 1,2$或$3$,使不等式$f(x)\geq H(n)$有解.