《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学必修第一册》

变式 新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召，某企业计划 2025 年引进新能源汽车生产设备，通过市场调研分析：全年需投入固定成本 2500 万元.每生产$x$百辆新能源汽车，需另投入成本$C(x)$万元，且$C(x)=\begin{cases}10x^2 + 500x,0\lt x\lt40,\\901x+\frac{10000}{x}-4300,x\geq40\end{cases}$由市场调研知，每辆车售价 9 万元，且生产的车辆当年能全部销售完.
(1)请写出 2025 年预计的利润$L(x)$（万元）关于年产量$x$（百辆）的函数关系式；（利润 = 销售 - 成本）
(2)当 2025 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

答案：
(1)当$0\lt x\lt40$时，$L(x)=9×100x-(10x^2 + 500x + 2500)=-10x^2 + 400x - 2500$；
当$x\geq40$时，$L(x)=9×100x-(901x+\frac{10000}{x}-4300 + 2500)=1800-(x+\frac{10000}{x})$。
故$L(x)=\begin{cases}-10x^2 + 400x - 2500,0\lt x\lt40,\\1800-(x+\frac{10000}{x}),x\geq40.\end{cases}$
(2)当$0\lt x\lt40$时，$L(x)=-10(x - 20)^2 + 1500$，当$x=20$时，$L(x)_{\max}=1500$；
当$x\geq40$时，$L(x)=1800-(x+\frac{10000}{x})\leq1800-2\sqrt{x·\frac{10000}{x}}=1600$，当且仅当$x=100$时等号成立。
因为$1600\gt1500$，所以当$x=100$时，利润最大，最大利润为$1600$万元。
答：
(1)利润函数关系式为$L(x)=\begin{cases}-10x^2 + 400x - 2500,0\lt x\lt40,\\1800-(x+\frac{10000}{x}),x\geq40.\end{cases}$
(2)2025年生产100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1600万元。