《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

8. 新考向 情境素材 学校美术社团为学生外出写生配备如图所示的折叠凳(图1)，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点.为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm，利用你所学的知识求出CB的长度是( )

A.36 cm
B.40 cm
C.35 cm
D.30 cm

答案： D

9. 如图，在△ABC中，∠A=∠B=50°，AK=BN，AM=BK，则∠MKN的度数是50°.

答案： 50°

10. 如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE.
(1)求证：△ABD≌△ECD；
(2)若△CDE的面积为5，求△ABC的面积.

答案：
(1)证明：
∵AD是边BC上的中线，
∴BD = CD.在△ABD和△ECD中，$\begin{cases}BD = CD,\\\angle ADB = \angle EDC,\\AD = ED,\end{cases}$
∴△ABD≌△ECD(SAS).
(2)
∵$△ABD≌△ECD,S_{△ECD} = 5，$
∴$S_{△ABD} = S_{△ECD} = 5.$
∵在△ABC中，AD为边BC上的中线，
∴$S_{△ABD} = S_{△ACD} = 5.$
∴$S_{△ABC} = S_{△ACD} + S_{△ABD} = 5 + 5 = 10.$

【拓展变式】 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AD为边BC上的中线，则AD的取值范围为.

答案： $\frac{1}{2} ＜ AD ＜ \frac{7}{2}$

11. 石家庄外国语校本经典题 如图，在△ABC中，AB=AC，P是平面上的任意一点，将AP绕点A顺时针旋转得到AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ，CP.
(1)如图1，若点P在△ABC的内部，则BQ与CP相等吗？若相等，请给出证明；
(2)如图2，若点P在△ABC的外部，则BQ与CP相等吗？若相等，请给出证明.

答案：
(1)BQ = CP.证明：因为∠QAP = ∠BAC,所以∠QAP - ∠BAP= ∠BAC - ∠BAP，即∠QAB = ∠PAC.由旋转的性质，得AQ =AP.在△AQB和△APC中，$\begin{cases}AQ = AP,\\\angle QAB = \angle PAC,\\AB = AC,\end{cases} $所以△AQB≌△APC(SAS).所以BQ = CP.
(2)BQ = CP.证明：因为∠QAP =∠BAC,所以∠QAP + ∠BAP = ∠BAC + ∠BAP，即∠QAB =∠PAC.由旋转的性质，得AQ = AP.在△AQB和△APC中，$\begin{cases}AQ = AP,\\\angle QAB = \angle PAC,\\AB = AC,\end{cases} $所以△AQB≌△APC(SAS).所以BQ = CP.