《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$D$在$AB$上，点$E$在$AC$的延长线上，且$BD = CE$，$DE$交$BC$于点$F$. 求证：$DF = EF$.

答案： 证明：过点 D 作 DM//AC 交 BC 于点 M.
∴∠DMB = ∠ACB， ∠FDM = ∠E.
∵AB = AC，
∴∠B = ∠ACB.
∴∠B = ∠DMB.
∴BD = MD.
∵BD = CE，
∴MD = CE. 在 △DMF 和 △ECF 中， ∠MDF = ∠E， ∠MFD = ∠CFE，
∴△DMF≌△ECF(AAS).
∴DF = EF. MD = CE，

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$BE$是角平分线，$CD\perp BE$交$BE$的延长线于点$D$. 求证：$BE = 2CD$.

答案： 证明：延长 BA，CD 相交于点 Q.
∵∠CAQ = ∠BDQ = 90°，
∴∠ACQ + ∠Q = 90°，∠ABE + ∠Q = 90°.
∴∠ACQ = ∠ABE.在 △ABE 和 △ACQ 中，$ \begin{cases} AB = AC, \\ ∠ABE = ∠ACQ, \\ ∠BAE = ∠CAQ, \end{cases} $
∴△ABE≌△ACQ(ASA).
∴BE = ∠BAE = ∠CAQ， CQ.
∵BD 平分 ∠ABC，∠BDC = ∠BDQ = 90°，
∴∠Q = ∠BCQ.
∴BQ = BC.又
∵BD⊥CQ，
∴CD = DQ.
∴BE = CQ = 2CD.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，已知$\angle ABC = 3\angle C$，$AD$平分$\angle BAC$，$BE\perp AD$于点$E$. 求证：$BE = \frac{1}{2}(AC - AB)$.

答案： 证明：延长 BE 交 AC 于点 F.
∵BF⊥AD，
∴∠AEB = ∠AEF.
∵AD 平分 BAC，
∴∠BAE = ∠FAE. 在 △ABE 和 △AFE 中， ∠AEB = ∠AEF，$ \begin{cases} ∠AEB = ∠AEF, \\ AE = AE, \\ ∠BAE = ∠FAE, \end{cases} $
∴△ABE≌△AFE(ASA).
∴∠ABF = ∠AFB， AB = AF，BE = EF.
∵∠C + ∠CBF = ∠AFB = ∠ABF，∠ABF + ∠CBF = ∠ABC = 3∠C，
∴∠C + 2∠CBF = 3∠C.
∴∠CBF = ∠C.
∴BF = CF.
∴$BE = \frac{1}{2}BF = \frac{1}{2}CF. $
∵CF = AC - AF = AC - AB，
∴$BE = \frac{1}{2}(AC - AB).$