《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 108^{\circ}$，$AB = AC$，$BD$平分$\angle ABC$，交$AC$于点$D$. 求证：$BC = AB + CD$.

答案： 证明：(方法一：截长法)在 BC 上取点 E，使 BE = BA，连接 DE.
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD = ∠EBD. 在 △ABD 和 △EBD 中，$ \begin{cases} AB = EB, \\ ∠ABD = ∠EBD, \end{cases} $
∴△ABD≌△EBD(SAS).
∴∠BAC = ∠BED BD = BD， = 108°.
∵AB = AC，∠BAC = 108°，
∴∠C = ∠ABC = 36°.
∴∠CDE = 72°.
∴∠CDE = ∠CED.
∴CD = CE.
∴BC = BE + EC = AB + CD.(方法二：补短法)延长 BA 至点 F，使 BF = BC，连接 DF.
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠CBD = ∠FBD.在 △FBD 和 △CBD 中，$ \begin{cases} FB = CB, \\ ∠FBD = ∠CBD, \\ BD = BD, \end{cases} $
∴△FBD≌△CBD(SAS).
∴DF = DC， ∠F = ∠C.
∵AB = AC，∠BAC = 108°，
∴∠C = ∠ABC = 36°，∠FAD = 72°.
∴∠F = 36°.
∴∠FDA = 72°.
∴∠FDA = ∠FAD.
∴FA = FD.
∴CD = DF = AF.
∴BC = BF = AB + AF = AB + CD.

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B$是锐角，$AD\perp BC$于点$D$，且$\angle B = 2\angle C$，$AB = 3.5$，$BD = 1$，求$DC$的长.
小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下：
解：如图 1，在线段$DC$上取一点$E$，使$DE = DB$，连接$AE$.
$\because AD\perp BC$，$DE = DB$，
$\therefore AD$垂直平分$BE$.
$\therefore AB = AE$(依据 1).
$\therefore \angle B = \angle AEB$(依据 2).
$\because \angle B = 2\angle C$，$\therefore \angle AEB = 2\angle C$.
又$\because \angle AEB = \angle EAC + \angle C$，
$\therefore \angle EAC + \angle C = 2\angle C$.
$\therefore \angle EAC = \angle C$. $\therefore AE = CE$(依据 3).
$\therefore AE = CE = AB$.
$\therefore DC = DE + CE = BD + AB = 1 + 3.5 = 4.5$.
(1) 上述解题过程中的“依据 1”“依据 2”“依据 3”分别指的是什么？
依据 1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
依据 2：等边对等角；
依据 3：等角对等边；
(2) 看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法：
解：如图 2，延长$DB$到点$E$，使$BE = AB$，连接$AE$.
……
请根据小亮的思路写出完整的解题过程.

答案：
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 等边对等角 等角对等边
(2)
∵EB = AB，
∴∠E = ∠EAB.
∴∠ABD = ∠E + ∠EAB = 2∠E.
∵∠ABD = 2∠C，
∴∠E = ∠C.
∴AE = AC.
∵AD⊥BC，
∴DC = ED = EB + BD = AB + BD = 3 + 1.5 = 4.5.