《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

1. 人大附中校本经典题 如图，点 C 是线段 AB 上除点 A，B 外的任意一点，分别以 AC，BC 为边在线段 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，连接 AE 相交 DC 于点 M，连接 BD 交 CE 于点 N，连接 MN. 求证：
(1) $ AE = BD $；
(2) $ MN // AB $.

答案： 1.证明：
(1)
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC,CE=CB，∠DCA=∠ECB=60°．
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，即∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中，$\begin{cases} ∠ACE=∠DCB \\\ AC=DC \\\ CE=CB \end{cases}$，△ACE≌△DCB(SAS)．
∴AE=BD.
(2)
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB.
∵∠ACD=∠ECB=60°，且A,C,B三点共线，
∴∠DCN=60°．
∴∠ACM=∠DCN.在△ACM和△DCN中，$\begin{cases} ∠MAC=∠NDC \\\ AC=DC \\\ ∠ACM=∠DCN \end{cases}$，
∴△ACM≌△DCN(ASA)．
∴MC=NC.
∵∠ACM=∠DCN=60°，
∴△MCN为等边三角形.
∴∠NMC=60°．
∴∠NMC=∠DCA.
∴MN//AB.

【拓展设问】 若 BD 与 AE 相交于点 P，连接 CP，判断下列结论是否正确，对的打“√”，错的打“×”.
(1) $ ∠APD = 60^{\circ} $；( )
(2) $ △ACM ≌ △DCN $；( )
(3) $ CM = CN $；( )
(4) $ △CMN $是等边三角形；( )
(5) $ ME = BE $；( )
(6) PC 平分 $ ∠APB $. ( )

答案： 【拓展设问】
(1)√
(2)√
(3)√
(4)√
(5)×
(6)√

2. 如图，已知等腰三角形 ACB 和等腰三角形 DCE，$ AC = BC $，$ DC = EC $，$ ∠ACB = ∠DCE $，连接 BD，AE 交于点 F，连接 CF. 求证：
(1) $ AE = BD $；
(2) $ ∠AFB = ∠ACB $；
(3) FC 平分 $ ∠BFE $.

答案： 2.证明：
(1)
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE.又
∵AC=BC,DC=EC，
∴△BCD≌△ACE(SAS)．
∴AE=BD.
(2)设AC,BD相交于点O.
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠CBD.又
∵∠AOF=∠BOC，
∴∠AFB=∠ACB.
(3)过点C分别作CM⊥BD于点M,CN⊥EF于点N，则∠BMC=∠ANC=90°.在△BCM和△ACN中，$\begin{cases} ∠BMC=∠ANC \\\ ∠CBM=∠CAN \\\ BC=AC \end{cases}$，
∴△BCM≌△ACN(AAS)．
∴CM=CN.
∴FC平分∠BFE.

3. 如图，$ △ABC $是等边三角形，P 是 $ △ABC $外一点，且 $ ∠ABP + ∠ACP = 180^{\circ} $. 求证：$ PB + PC = PA $.

答案： 3.证明：延长PC到点D，使CD=PB，连接AD.
∵∠ABP+∠ACP=180°,∠ACP+∠ACD=180°，
∴∠ABP=∠ACD.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=60°．
∴△ABP≌△ACD(SAS)．
∴AP=AD,∠BAP=∠CAD.
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，
∴∠CAD+∠PAC=60°，即∠PAD=60°．
∴△PAD是等边三角形.
∴PA=PD=PC+CD.
∴PB+PC=PA.