《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

12. (2023·合肥庐阳区期末)若等腰三角形有一个角是 $36^{\circ}$，则它的顶角度数是36°或108°.

答案： 12.36°或108°

13. (2024·宿城一初期末)如图，$D$ 为等边三角形 $ABC$ 内部一点，且 $\angle ABD = \angle BCD$，则 $\angle BDC$ 的度数为120°.

答案： 13.120°

14. 如图，$\triangle ABC$ 是等边三角形，$BC = BD$，$\angle BAD = 20^{\circ}$，则 $\angle BCD$ 的度数为50°.

答案： 14.50°

15. (2024·合肥科大附中期末)如图，$AB = AC = AD$，$\angle BAD = 50^{\circ}$，则 $\angle BCD$ 的度数为(D)

A.$115^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$140^{\circ}$
D.$155^{\circ}$

答案： 15.D

16. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$，$E$ 分别在 $AC$，$AB$ 上，且 $BD = BC$，$BE = DE = AD$，求 $\angle C$ 的度数.

答案： 16.解：设∠EBD=α.
∵EB=ED,
∴∠EDB=∠EBD=α.
∵AD=ED,
∴∠A=∠AED=∠EDB+∠EBD=2α.
∴∠EDC=∠A+∠AED=4α.又
∵∠EDB=α,
∴∠BDC=3α.
∵BD=BC,
∴∠C=∠BDC=3α.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=3α.在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴2α+3α+3α=180°.
∴α=22.5°.
∴∠C=3α=67.5°.

17. 如图 1，在等边三角形 $ABC$ 中，$D$ 是边 $AB$ 上的动点，以 $CD$ 为一边，向上作等边三角形 $EDC$，连接 $AE$.
（1）$\triangle DBC$ 和 $\triangle EAC$ 全等吗？请说明理由；
（2）试说明 $AE // BC$ 的理由；
（3）如图 2，若动点 $D$ 运动到边 $BA$ 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有 $AE // BC$？并证明.

答案： 17.解：
(1)△DBC和△EAC全等.理由：
∵∠ACB=60°,∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°-∠ACD,∠ACE=60°-∠ACD.
∴∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中$,\begin{cases}BC=AC,\\∠BCD=∠ACE,\\DC=EC,\end{cases}$
∴△DBC≌△EAC(SAS).
(2)
∵△DBC≌△EAC,
∴∠EAC=∠B=60°.又
∵∠ACB=60°,
∴∠EAC=∠ACB.
∴AE//BC.
(3)结论：AE//BC.
证明：
∵△ABC,△EDC为等边三角形,
∴BC=AC,DC=EC,∠BCA=∠DCE=60°.
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中$,\begin{cases}BC=AC,\\∠BCD=∠ACE,\\DC=EC,\end{cases}$
∴△DBC≌△EAC(SAS).
∴∠EAC=∠B=60°.又
∵∠ACB=60°,
∴∠EAC=∠ACB.
∴AE//BC.