《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角为65°。 更正：65°或25°

错因：在画图解题过程中容易按思维定式只考虑到高在三角形内部的情况从而漏解。

纠正：分高在三角形内部和外部两种情况讨论。

解题思路：

(1) 当BD在△ABC内部时，如图1；

(2) 当BD在△ABC外部时，如图2。

答案： 1. 当高$BD$在$\triangle ABC$内部时：
因为$\angle ABD = 40^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle ABD$中，$\angle A=180^{\circ}-\angle ADB - \angle ABD$。
即$\angle A = 180^{\circ}-90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$。
又因为$AB = AC$，根据等腰三角形两底角相等，且三角形内角和$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，$\angle B=\angle C$，所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}$。
把$\angle A = 50^{\circ}$代入得$\angle B=\angle C=\frac{180 - 50}{2}=65^{\circ}$。
2. 当高$BD$在$\triangle ABC$外部时：
因为$\angle ABD = 40^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$，在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=180^{\circ}-\angle ADB - \angle ABD=180^{\circ}-90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$。
所以$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle BAD=130^{\circ}$。
又因为$AB = AC$，根据等腰三角形两底角相等，且三角形内角和$\angle BAC+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，$\angle B=\angle C$，所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}$。
把$\angle BAC = 130^{\circ}$代入得$\angle B=\angle C=\frac{180 - 130}{2}=25^{\circ}$。
综上，该等腰三角形的底角为$65^{\circ}$或$25^{\circ}$。

2. 已知$10^a = 20$，$100^b = 50$，则$\frac{1}{2}a + b + \frac{3}{2}$的值是______。

解题思路：(1) 找到两个已知条件的关联性：可将$100^b$变形为$10^{2b}$，则$100^b$可转化为$10^{2b}$；

(2) 要求与$a$、$b$的和相关的式子的值，而$a$、$b$均在指数位置上，只能将$10^a$与$10^{2b}$相乘，得$10^a \cdot 10^{2b} = 10^{a + 2b} = 1000 = 10^3$，再利用整体思想求值。

答案： 1. 首先对$100^b$进行变形：
因为$100^b=(10^2)^b = 10^{2b}$，已知$10^a = 20$，$100^b = 50$，即$10^{2b}=50$。
2. 然后根据同底数幂相乘的法则$m^x\cdot m^y=m^{x + y}$（这里$m = 10$）：
计算$10^a\cdot10^{2b}$，可得$10^a\cdot10^{2b}=10^{a + 2b}$。
又因为$10^a\cdot10^{2b}=20×50 = 1000$，而$1000 = 10^3$，所以$10^{a + 2b}=10^3$。
根据指数相等则底数相等的原则（底数$10\gt0$且$10\neq1$），可得$a + 2b=3$。
3. 最后求$\frac{1}{2}a + b+\frac{3}{2}$的值：
对$\frac{1}{2}a + b+\frac{3}{2}$进行变形，$\frac{1}{2}a + b+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}(a + 2b)+\frac{3}{2}$。
把$a + 2b = 3$代入上式，得到$\frac{1}{2}×3+\frac{3}{2}$。
计算$\frac{1}{2}×3+\frac{3}{2}=\frac{3 + 3}{2}=3$。
故$\frac{1}{2}a + b+\frac{3}{2}$的值是$3$。

3. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有( )

A.5个

B.6个

C.7个

D.8个

答案：

解题思路：如图所示，分三种情况讨论

① 当AB = AP时，以点A为圆心，AB长为半径画弧，与x轴有一个交点$P_1$，与y轴有两个交点$P_2$、$P_3$；

② 当AB = BP时，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与x轴有两个交点$P_4$、$P_1$，其中$P_1$与①中重合，与y轴有一

个交点$P_5$；

③ 当AP = BP时，画线段AB的垂直平分线，与x轴有一个交点$P_6$（与①中重合），与y轴有一个交点$P_7$。

总共符合条件的$P$点个数为$1 + 2+1 + 1+1=6$个（去除重复的点）。

所以答案是B。