《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

7. (2024·合肥巢湖市期末改编)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是边$BC$上的一点，连接$AD$，以$AD$为边作$\triangle ADE$，使$AE = AD$，且$\angle DAE = \angle BAC$，连接$EC$。若$BD = 2$，则$EC$的长为(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

8. 如图，$AB\perp CD$，且$AB = CD$，$E$，$F$是$AD$上两点，$CE\perp AD$，$BF\perp AD$。若$CE = 6$，$BF = 3$，$EF = 2$，则$AD$的长为7。

答案： 7

9. （2024·合肥45中期末）如图，在$\triangle ABC$和$\triangle EDC$中，$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$，$AB = DE$，$EC = AC$。求证：
（1）$\angle BCE = \angle DCA$；
（2）$HA = HE$。
]

答案： 证明：
(1)
∵∠B=∠D=90°，在Rt△ACB和Rt△ECD中，
$\begin{cases}AC=EC,\\AB=ED,\end{cases} $
∴Rt△ACB≌Rt△ECD(HL).
∴∠ACB=∠ECD.
∴
∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，即∠BCE=∠DCA.
(2)
∵
Rt△ACB≌Rt△ECD，
∴BC=DC，∠A=∠E.在△BCF和△DCG
中，$\begin{cases}∠BCF=∠DCG,\\BC=DC,\\∠B=∠D,\end{cases} $
∴△BCF≌△DCG(ASA).
∴CF=CG.
∵AC
=EC，
∴EF=AG.在△EFH和△AGH中，$\begin{cases}∠E=∠A,\\∠EHF=∠AHG,\\EF=AG,\end{cases} $
∴
△EFH≌△AGH(AAS).
∴HA=HE.

10. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$AD = AE$，$BE$，$CD$相交于点$F$，且$\angle DFE = 120^{\circ}$。在$BE$的延长线上截取$ET = DC$，连接$AT$。
（1）求证：$\angle ADC = \angle AET$；
（2）求证：$AT = AC$；
（3）设边$BC$上的中线$AP$与$BE$相交于点$Q$，求证：$\angle QAB = \angle QBA$。
]

答案： 证明：
(1)
∵∠BAC=60°，∠DFE=120°，
∴∠AEF+∠ADC=360°
-60°-120°=180°.
∵∠AEF+∠AET=180°，
∴∠ADC=
∠AET.
(2)在△AET和△ADC中，$\begin{cases}AE=AD,\\∠AET=∠ADC,\\ET=DC,\end{cases} $
∴△AET
≌△ADC(SAS).
∴AT=AC.
(3)方法一：延长AP至点G，使得GP
=AP，连接BG.
∵AP为BC边上的中线，
∴CP=BP.在△APC和
△GPB中，$\begin{cases}AP=GP,\\∠APC=∠GPB,\\CP=BP,\end{cases} $
∴△APC≌△GPB(SAS).
∴AC=
GB.
∵AC=AT，
∴GB=AT.
∵△AET≌△ADC，
∴∠TAE=
∠CAD=60°.
∴∠TAB=120°.
∵△APC≌△GPB，
∴∠CAP=
∠G.
∴AC//BG.
∴∠ABG=180°-∠BAC=180°-60°=120°=
∠TAB.在△ABG和△BAT中，$\begin{cases}AB=BA,\\∠ABG=∠BAT,\\BG=AT,\end{cases} $
∴△ABG≌
△BAT(SAS).
∴∠QAB=∠QBA.方法二：提示：过点B作BG//
AC交AP的延长线于点G.