《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

11. (2023·淮北烈山区期末)如图，$BP$是$△ABC$中$∠ABC$的平分线，$CP$是$∠ACB$外角的平分线.如果$∠ABP = 20^{\circ}$，$∠ACP = 50^{\circ}$，那么$∠P =$30$^{\circ}$.

答案： 30

12. （2024·淮北期末）如图，在$△ABC$中，$CD$平分$∠ACB$，$∠1 = ∠2$，$∠B = 45^{\circ}$，求$∠ACB$的度数.

答案： 解:设∠ACB=2α.
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=α.
∴∠1=∠2=∠B+∠BCD=45°+α.
∵∠2+∠B+∠ACB=180°,
∴45°+α+45°+2α=180°.
∴α=30°.
∴∠ACB=2α =60°.

13. 小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在$△ABC$中，$AD$平分$∠BAC$，点$P$为线段$AD$上的一个动点，$PE\perp AD$交$BC$的延长线于点$E$，猜想$∠B$，$∠ACB$，$∠E$的数量关系.
(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试从具体的情况开始探索.若$∠B = 35^{\circ}$，$∠ACB = 85^{\circ}$，则$∠E =$25°；
(2)小明继续探究，设$∠B = \alpha$，$∠ACB = \beta$($\beta＞\alpha$)，当点$P$在线段$AD$上运动时，求$∠E$的大小.(用含$\alpha$，$\beta$的代数式表示)

答案：
(1)25°　
(2)∠E=$\frac{1}{2}$(β - α).理由如下:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠CAB=180°−α−β.
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$(180°−α−β).
∴∠PDE = ∠B+∠BAD=α+$\frac{1}{2}$(180°−α−β)=90°+$\frac{1}{2}$(α - β).
∵PE⊥AD,
∴∠E=90°−∠PDE=90°−[90°+$\frac{1}{2}$(α - β)]=$\frac{1}{2}$(β - α).

1. 如图，在$△ABC$中，将线段$BC$弯折成$BDC$的形状.求证：$∠BDC = ∠BAC + ∠B + ∠C$.

答案：
证明:(证法一)如图3，连接AD并延长，
∵∠2=∠1+∠B,∠4=∠3+∠C,
∴∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C;
∴∠BDC=∠BAC +∠B+∠C;
　　　　　　　　　　 　
　(证法二)如图4,延长BD交AC于点E,则∠BDC=∠BEC+∠C.又
∵∠BEC=∠BAC+∠B,
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.

2. （2024·合肥寿春中学期中）如图，$E$，$F$是$△ABC$的边$AB$，$AC$上的点，$D$是点$A$上方的一点.若$∠B + ∠C = 64^{\circ}$，$∠D = 70^{\circ}$，则$∠1 + ∠2 =$______.

答案： 46°

3. 如图，$AD$，$BC$相交于点$O$，得到一个“8字”.求证：$∠A + ∠B = ∠C + ∠D$.

答案： 证明:
∵∠AOC=∠A+∠B,又
∵∠AOC=∠C+∠D,
∴∠A+∠B =∠C +∠D.(注:也可以利用三角形的内角和等于180°证明)

4. A|北京文汇中学校本经典题 如图，$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$是平面上的6个点，则$∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F =$360°.

答案： 360°