《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

【例】 A|清华附中校本经典题 如图，在△ABC 中，AD，AE 分别是△ABC 的角平分线和高线，∠ABC=α，∠ACB=β(α＜β).
(1)若α=35°，β=55°，则∠DAE=10°；
(2)小明说：“无需给出α，β的具体数值，只需确定β与α的差值，即可确定∠DAE 的度数.”请通过计算验证小明的说法是否正确.

答案：
(1)$10^{\circ}$
(2)$\because \angle ABC=\alpha$，$\angle ACB=\beta$，$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\alpha-\beta$. $\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha-\beta)$. $\because AE\perp BC$，$\therefore \angle AEB = 90^{\circ}$. $\therefore \angle BAE = 90^{\circ}-\alpha$. $\therefore \angle DAE=\angle BAE - \angle BAD=(90^{\circ}-\alpha)-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha-\beta)=\frac{1}{2}(\beta-\alpha)$. $\therefore \angle DAE$的度数与$\alpha$，$\beta$的具体数值无关，只和$\beta$与$\alpha$的差值有关. $\therefore$小明的说法是正确的.

1. 如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的高线，AE 平分∠BAC.若∠B=30°，∠ACB=110°，求∠DAE 的度数.

答案： $\because AD$是边$BC$上的高线，$\angle B = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BAD = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$.
$\because \angle B = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 110^{\circ}$，$\therefore \angle BAC = 180^{\circ}-110^{\circ}-30^{\circ}=40^{\circ}$. $\because AE$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAE=\angle CAE=\frac{1}{2}\angle BAC = 20^{\circ}$. $\therefore \angle CAD=\angle BAD - \angle BAC = 60^{\circ}-40^{\circ}=20^{\circ}$. $\therefore \angle DAE=\angle DAC+\angle CAE = 20^{\circ}+20^{\circ}=40^{\circ}$.

2. (2023·合肥蜀山区期中)如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC，∠C＞∠B.在线段 AE 上任意取一点 P(不与点 A，E 重合)，过点 P 作 PD⊥BC 于点 D.若∠B=α，∠C=β，试求出∠EPD 的度数(用含α，β的代数式表示).

答案： 在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-\alpha-\beta$. $\because AE$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha-\beta)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha-\frac{1}{2}\beta$. $\therefore \angle AED=\angle BAE+\angle B=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha-\frac{1}{2}\beta+\alpha=90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha-\frac{1}{2}\beta$. $\because PD\perp BC$，$\therefore \angle PDE = 90^{\circ}$. $\therefore \angle EPD=90^{\circ}-\angle AED=90^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha-\frac{1}{2}\beta)=\frac{1}{2}(\beta-\alpha)$.

3. 如图，AD 平分∠BAC，点 F 是 AD 反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1=40°，∠C=65°，则∠F 的度数为15°.

答案： 15°

【拓展变式】 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠B＜∠C，点 E 在 AD 的延长线上，EF⊥BC 于点 F.试探究∠DEF 与∠B，∠C 的大小关系，并说明理由.

答案： $\angle DEF=\frac{1}{2}(\angle C-\angle B)$. 理由：过点$A$作$AG\perp BC$于点$G$. $\because EF\perp BC$，$\therefore AG// EF$. $\therefore \angle DAG=\angle DEF$. 易得$\angle DAG=\frac{1}{2}(\angle C-\angle B)$，$\therefore \angle DEF=\frac{1}{2}(\angle C-\angle B)$.