《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

4. 如图，在 $ △ABC $中，$ ∠BAC = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，D 为 BC 的中点，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 $ BE = AF $. 求证：$ △DEF $为等腰直角三角形.

答案： 4.证明：连接AD.
∵AB=AC,∠BAC=90°，△ABC为等腰直角三角形.
∵D为BC的中点，
∴AD=BD=CD，∠ADB=90°，AD平分∠BAC.
∴∠BAD=∠CAD=∠B=45°.在△BDE和△ADF中，$\begin{cases} BD=AD \\\ ∠B=∠DAF \\\ BE=AF \end{cases}$，
∴△BDE≌△ADF(SAS)．
∴DE=DF,∠BDE=∠ADF.
∵∠ADB=∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形.

5. 如图，$ △ABC $为等腰直角三角形，$ ∠BAC = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，D 是 AC 上一点. 若 $ CE ⊥ BD $于点 E，连接 AE. 求证：$ ∠AEB = 45^{\circ} $.

答案： 5.证明：在BE上截取BF=CE，连接AF.
∵∠BAD=∠CED=90°，∠ADB=∠EDC，
∴∠ABF=∠ACE.在△ABF和△ACE中，$\begin{cases} AB=AC \\\ ∠ABF=∠ACE \\\ BF=CE \end{cases}$，
∴△ABF≌△ACE(SAS)．
∴AF=AE,∠BAF=∠CAE.
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=∠BAF+∠CAF=∠BAC=90°．
∴△AEF是等腰直角三角形.
∴∠AEB=45°.

6. (本专题 T5 变式)如图，$ △ABC $为等腰直角三角形，$ ∠BAC = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，D 是 AC 上一点. 若 $ ∠AEB = 45^{\circ} $，求证：$ CE ⊥ BD $.

答案： 6.证明：过点A作AF⊥AE交BE于点F.
∴∠EAF=∠BAC=90°．
∴∠BAF=∠CAE.
∵∠AEB=45°，
∴∠AFE=∠AEF=45°．
∴AF=AE.又
∵BA=CA，
∴△ABF≌△ACE(SAS).
∴∠ABF=∠ACE.又
∵∠ADB=∠EDC，
∴∠BEC=∠BAC=90°．
∴CE⊥BD.