《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

12. (2020·安徽)已知一次函数 $ y = kx + 3 $($ k $ 为常数，且 $ k \neq 0 $)的图象经过点 $ A $，且 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则点 $ A $ 的坐标可以是(B)

A.$ (-1,2) $
B.$ (1,-2) $
C.$ (2,3) $
D.$ (3,4) $

答案： B

13. 已知一次函数 $ y = kx - k $，当 $ k ＜ 0 $ 时，该函数图象经过(B)

A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限

答案： B

14. (2022·安徽)在同一平面直角坐标系中，一次函数 $ y = ax + a^{2} $ 与 $ y = a^{2}x + a $ 的图象可能是( )

答案： D

15. (2024·合肥行知中学期中改编)已知一次函数 $ y = (m - 1)x - 2m + 1 $，其中 $ m $ 为常数，且 $ m \neq 1 $。
(1)若点 $ B(1,t) $，$ C(3,t + 2) $ 都在该一次函数的图象上，求 $ m $ 的值；
(2)当 $ - 2 \leq x \leq 3 $ 时，函数有最大值为 $ 2 $，求该函数的表达式。

答案：
(1)由题意，得$\begin{cases}m - 1 - 2m + 1 = t,\\3(m - 1) - 2m + 1 = t + 2,\end{cases}$解得$m = 2$.
(2)①当$m ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴当$x = 3$时，函数有最大值为2.
∴$3(m - 1) - 2m + 1 = 2$，解得$m = 4$.
∴该函数的表达式为$y = 3x - 7$；②当$m ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x = -2$时，函数有最大值为2.
∴$-2(m - 1) - 2m + 1 = 2$，解得$m = \frac{1}{4}$.
∴该函数的表达式为$y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$.综上所述，该函数的表达式是$y = 3x - 7$或$y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$.

16. (2024·六安金安区期末)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 $ y = \frac{2}{3}x + 2 $ 的图象分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ A $，$ B $，$ C $ 是线段 $ OA $ 上的一个动点（不与点 $ O $ 和点 $ A $ 重合），过点 $ C $ 作 $ CD // y $ 轴交直线 $ AB $ 于点 $ E $，使 $ CD = \frac{3}{2}OC $，设点 $ C $ 的横坐标为 $ m $。
(1)求点 $ A $，$ B $ 的坐标；
(2)当 $ DE = CE $ 时，求 $ m $ 的值；
(3)如图2，连接 $ AD $，$ BD $，在点 $ C $ 运动的过程中，当三角形 $ ADB $ 的面积等于三角形 $ AOB $ 的面积时，求 $ m $ 的值。
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答案：
(1)在$y = \frac{2}{3}x + 2$中，令$y = 0$，则$\frac{2}{3}x + 2 = 0$，解得$x = -3$.令$x = 0$，则$y = 2$.
∴A(-3,0)，B(0,2).
(2)
∵点C的横坐标为$m$，
∴OC = -m.
∵$CD = \frac{3}{2}CO$，
∴$CD = -\frac{3}{2}m$.当$x = m$时，$y = \frac{2}{3}m + 2$.
∴$CE = \frac{2}{3}m + 2$.
∴$DE = CD - CE = -\frac{3}{2}m - (\frac{2}{3}m + 2) = -\frac{13}{6}m - 2$.
∵$DE = CE$，
∴$-\frac{13}{6}m - 2 = \frac{2}{3}m + 2$，解得$m = -\frac{24}{17}$.
(3)过点B作$BF \perp DE$于点$F$，则$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ADE} + S_{\triangle BDE} = \frac{1}{2}DE \cdot AC + \frac{1}{2}DE \cdot BF = \frac{1}{2}DE \cdot AO$.
∵$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}AO \cdot OB$，$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB}$，
∴$DE = OB$.
∵B(0,2)，
∴$OB = 2$.由
(2)可知，$DE = -\frac{13}{6}m - 2$，
∴$-\frac{13}{6}m - 2 = 2$，解得$m = -\frac{24}{13}$.