《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

9. 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，$AD$是边$BC$上的中线，点$E$在$AD$上，且$DE = \frac{1}{2}BC$，则$\angle AFE$的度数为105°.

答案： 9.105°

10. (2024·亳州谯城区期末)如图，$AD$，$CE$分别是$\triangle ABC$的中线和高. 若$AB = AC$，$\angle ACE = 32^{\circ}$，则$\angle BAD$的度数为(B)

A.$32^{\circ}$
B.$29^{\circ}$
C.$28^{\circ}$
D.$25^{\circ}$

答案： 10.B

11. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在边$BC$上，$BD = AD = AC$，$E$为$CD$的中点. 若$\angle CAE = 16^{\circ}$，则$\angle B$的度数为(C)

A.$32^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$37^{\circ}$
D.$74^{\circ}$

答案： 11.C

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD \perp BC$于点$D$，$DE \perp AB$于点$E$，$BF \perp AC$于点$F$，$DE = 3\mathrm{cm}$，则$BF =$(B)

A.$4.8\mathrm{cm}$
B.$6\mathrm{cm}$
C.$5\mathrm{cm}$
D.$6.4\mathrm{cm}$

答案： 12.B

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$E$在$CA$的延长线上，$AE = AF$，$AD$是高. 试判断$EF$与$BC$的位置关系，并说明理由.

答案： 13.解：EF⊥BC. 理由如下：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵AE=AF，
∴∠E=∠EFA.
∵∠BAC=∠E+∠EFA=2∠EFA，
∴∠EFA=∠BAD.
∴EF//AD.
∵AD⊥BC，
∴EF⊥BC，即EF与BC的位置关系是垂直.

14. 新考向 推理能力 (2023·合肥45中期末)如图所示，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 45^{\circ}$，$CD \perp AB$于点$D$.
(1) 求$\angle BCD$的度数；
(2) 作$AE \perp BC$于点$E$，$AE$交$CD$于点$F$. 若$CE = 5$，求$AF$的长.

答案： 14.解：
(1)
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180°-45°)=67.5°.
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°.
(2)
∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠ADF=∠CDB=∠CEF=90°.
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠DAF=∠DCB.
∵∠BAC=45°，
∴∠DAC=∠DCA=45°.
∴DA=DC. 在△ADF和△CDB中，$\begin{cases}AD=CD\\\angle ADF=\angle CDB\end{cases}$，
∴△ADF≌△CDB(ASA).
∴AF=CB.
∵AE⊥BC，AB=AC，
∴BC=2CE=10.
∴AF=10.