《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

4. (2023·合肥 46 中期末改编)如图，已知在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle AEF$ 中，$AB = AC$，$AE = AF$，$\angle CAB = \angle EAF$，$BE$ 交 $FC$ 于点 $O$。
(1)求证：$BE = CF$；
(2)当 $\angle BAC = 70^{\circ}$ 时，求 $\angle BOC$ 的度数；
(3)当 $\angle BAC = \alpha$ 时，$\angle BOC$ 的度数为α。(用含 $\alpha$ 的代数式表示)

答案：
(1)证明：
∵∠CAB=∠EAF，
∴∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE，即∠BAE=∠CAF.在△BAE和△CAF中，$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAE=∠CAF \\ AE=AF \end{cases}$，
∴△BAE≌△CAF(SAS).
∴BE=CF.
(2)
∵AE=AF，△BAE≌△CAF，
∴∠EBA=∠FCA.
∵∠BDA=∠ODC，
∴∠BOC=∠BAC=70°.
(3)α

5. 石家庄外国语校本经典题 在直线 $m$ 上依次取互不重合的三个点 $D$，$A$，$E$，在直线 $m$ 上方有 $AB = AC$，且满足 $\angle BDA = \angle AEC = \angle BAC = \alpha$。
(1)如图 1，当 $\alpha = 60^{\circ}$ 时，猜想线段 $DE$，$BD$，$CE$ 之间的数量关系是_______；
(2)如图 2，当 $0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 180^{\circ}$ 时，问题(1)中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

答案：
(1)DE=BD+CE
(2)DE=BD+CE仍然成立.证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α.
∴∠DBA=∠EAC.在△DBA和△EAC中，$\begin{cases} ∠BDA=∠AEC \\ ∠DBA=∠EAC \\ AB=CA \end{cases}$，
∴△DBA≌△EAC(AAS).
∴BD=AE,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.

6. 清华附中校本经典题 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，直线 $MN$ 经过点 $C$，且 $AD\perp MN$ 于点 $D$，$BE\perp MN$ 于点 $E$。
(1)当直线 $MN$ 绕点 $C$ 旋转到图 1 的位置时，求证：
①$\triangle ADC\cong\triangle CEB$；
②$DE = AD + BE$；
(2)当直线 $MN$ 绕点 $C$ 旋转到图 2 的位置时，求证：$DE = AD - BE$；
(3)当直线 $MN$ 绕点 $C$ 旋转到图 3 的位置时，直接写出 $DE$，$AD$，$BE$ 之间的数量关系。

答案：
(1)证明：①
∵∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠BCE.
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS).②
∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，CD=BE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)证明：
∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，易得∠ACD=∠CBE.
∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS).
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE-CD=AD-BE.
(3)DE=BE-AD.