《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

1. (2024·合肥行知中学期中)在函数 $ y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1} $ 中，自变量 $ x $ 的取值范围是 $x\geq-2$且$x\neq1$.

答案： $x\geq-2$且$x\neq1$

2. 已知一次函数 $ y = - 3x + 2 $ 的图象上存在一点 $ P $，若点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离等于 $ 3 $，则点 $ P $ 的坐标为 $(\frac{5}{3},-3)$或$(-\frac{1}{3},3)$.

答案： $(\frac{5}{3},-3)$或$(-\frac{1}{3},3)$

3. (2024·合肥 45 中期中)对于一次函数 $ y = kx + 8 $($ k $ 为常数且 $ k \neq 0 $)，当 $ 1 \leq x \leq 4 $ 时，$ y $ 的最小值为 $ 4 $，则 $ k $ 的值是 $-1$.

答案： $-1$

4. (2023·合肥 45 中期中)已知一次函数 $ y = (1 - m)x + 3 - m $ 的图象不经过第三象限，则正整数 $ m $ 的值为 2或3.

答案： 2或3

5. (2024·合肥 50 中西校期中)若一次函数 $ y = kx + b $ 在 $ y $ 轴上的截距为 $ - 4 $ 且与两坐标轴围成的三角形的面积为 $ 4 $，则此一次函数的表达式为 $y=2x - 4$或$y=-2x - 4$.

答案： $y=2x - 4$或$y=-2x - 4$

6. （2024·合肥 38 中期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 $ l_{1}:y = kx + b(k \neq 0) $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A(6,0) $，与 $ y $ 轴相交于点 $ B $，与直线 $ l_{2}:y = \frac{1}{2}x $ 相交于点 $ M(m,\frac{3}{2}) $.
(1) 求直线 $ l_{1} $ 的表达式；
(2) $ C $ 为 $ x $ 轴上一点，若三角形 $ ABC $ 的面积为 $ 12 $，求点 $ C $ 的坐标.

答案： 解：
(1)$\because$点$M(m,\frac{3}{2})$在直线$l_{2}$上，$\therefore\frac{3}{2}=\frac{1}{2}m$，解得$m = 3.\therefore M(3,\frac{3}{2})$.$\because$点$A(6,0)$，$M(3,\frac{3}{2})$在直线$l_{1}$上，$\therefore\begin{cases}6k + b = 0,\\3k + b=\frac{3}{2}\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2},\\b = 3.\end{cases}$$\therefore$直线$l_{1}$的表达式为$y=-\frac{1}{2}x + 3$.
(2)当$x = 0$时，$y = 3$，即$B(0,3)$，$\therefore OB = 3$.设点$C$的坐标为$(n,0)$，则$AC = |6 - n|$.
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×|6 - n|×3 = 12$，解得$n = -2$或$n = 14.\therefore C(-2,0)$或$C(14,0)$.

7. 新考向 传统文化（2023·蚌埠期末）秤是我国传统的计重工具. 如图 1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量. 称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 $ x $（厘米）时，秤钩所挂物重为 $ y $（斤），则 $ y $ 是 $ x $ 的一次函数. 如表中为若干次称重时所记录的一些数据.

(1) 表中有一组数据记录错误. 在图 2 中，通过描点的方法，观察判断哪一组是错误的？并说明理由；
(2) 求出这个一次函数的表达式；
(3) 当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 $ 16 $ 厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤.

答案： 解：
(1)函数图象略，观察图象可知，$x = 7$，$y = 2.75$这组数据错误.理由：因为$(7,2.75)$这点和其他点不在一条直线上，所以$x = 7$，$y = 2.75$这组数据错误.
(2)设直线的表达式为$y = kx + b$.代入$(1,0.75)$和$(2,1.00)$，得$\begin{cases}k + b = 0.75,\\2k + b = 1\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 0.25,\\b = 0.5.\end{cases}$所以$y = 0.25x + 0.5$.
(3)当$x = 16$时，$y = 0.25×16 + 0.5 = 4.5$.所以当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤.