《2025年名校课堂八年级数学上册沪科版》

5. (2024·安庆期末)如图，已知$\angle C = \angle F = 90^{\circ}$，$AC = DF$，$AE = DB$，$BC$与$EF$相交于点$O$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。

答案： 证明：
∵AE = DB，
∴AE + EB = DB + EB，即AB = DE. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，$\begin{cases} AB = DE, \\ AC = DF, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).

6. 如图，$AB // DE$，$B$，$C$，$D$三点在同一条直线上，$\angle A = 90^{\circ}$，$EC \perp BD$，且$AB = CD$。求证：$AC = CE$。

答案： 证明：
∵AB//DE，
∴∠B = ∠D.
∵EC⊥BD，∠A = 90°，
∴∠DCE = ∠A = 90°. 在△ABC和△CDE中，$\begin{cases} ∠B = ∠D, \\ AB = CD, \\ ∠A = ∠DCE, \end{cases}$
∴△ABC≌△CDE(ASA).
∴AC = CE.

7. 如图，$CB$为$\angle ACE$的平分线，$F$是线段$CB$上一点，$CA = CF$，$\angle B = \angle E$，延长$EF$与线段$AC$相交于点$D$。
(1) 求证：$AB = FE$；
(2) 若$ED \perp AC$，$AB // CE$，则$\angle A$的度数为。

答案：
(1)证明：
∵CB为∠ACE的平分线，
∴∠ACB = ∠FCE. 在△ABC和△FEC中，$\begin{cases} ∠B = ∠E, \\ ∠ACB = ∠FCE, \\ CA = CF, \end{cases}$
∴△ABC≌△FEC(AAS).
∴AB = FE.
(2)120°

8. (倍长中线法)如图，$AB = AE$，$AB \perp AE$，$AD = AC$，$AD \perp AC$，$M$为$BC$的中点。求证：$DE = 2AM$。

答案： 证明：延长AM至点N，使MN = AM，连接BN.
∵M为BC的中点，
∴BM = CM. 又
∵AM = MN，∠AMC = ∠NMB，
∴△AMC≌△NMB(SAS).
∴AC = BN，∠C = ∠NBM.
∴∠ABN = ∠ABC + ∠NBM = ∠ABC + ∠C = 180° - ∠BAC = ∠EAD.
∵AD = AC，AC = BN，
∴AD = BN. 又
∵AB = AE，
∴△ABN≌△EAD(SAS).
∴DE = NA. 又
∵AM = MN，
∴DE = 2AM.

9. (截长补短法)如图，$AB // CD$，点$E$在线段$BD$上，且$AE$平分$\angle BAC$，$CE$平分$\angle DCA$。求证：$AC = AB + CD$。

答案： 解：在AC上取点F，使AF = AB，连接EF.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE = ∠FAE. 又
∵AB = AF，AE = AE，
∴△ABE≌△AFE(SAS).
∴BE = EF，∠B = ∠AFE.
∵AB//CD，
∴∠B + ∠D = 180°.
∴∠AFE + ∠D = 180°. 又
∵∠AFE + ∠EFC = 180°，
∴∠D = ∠EFC. 又
∵CE平分∠DCA，
∴∠FCE = ∠DCE. 又
∵CE = CE，
∴△FCE≌△DCE(AAS).
∴CD = CF.
∴AC = AF + CF = AB + CD.