《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

19. 已知 $ M = 5x^{2} - 2x - 1,N = 3x^{2} - 2x - 5 $.
(1) 当 $ x = -1 $ 时,求代数式 $ 3M - (2M + 3N) $ 的值；
(2) 试判断 $ M,N $ 的大小关系,并说明理由.

答案： （1）原式$=3M-2M-3N=M-3N$,把$M=5x^{2}-2x-1,N=3x^{2}-2x-5$代入,得原式$=5x^{2}-2x-1-3(3x^{2}-2x-5)=5x^{2}-2x-1-9x^{2}+6x+15=-4x^{2}+4x+14$,当$x=-1$时,原式$=-4×(-1)^{2}+4×(-1)+14=-4-4+14=6$.（2）$M＞N$,理由如下:$M-N=5x^{2}-2x-1-(3x^{2}-2x-5)=5x^{2}-2x-1-3x^{2}+2x+5=2x^{2}+4$,因为无论x为何值,$2x^{2}\geq0$,即$2x^{2}+4\geq4$,所以$M＞N$.

20. 先化简,再求值：
(1) $ 2x^{2} - [x^{2} - (3x^{2} + 2x - 1)] $,其中 $ x = \frac{1}{2} $；
(2) 已知 $ (a + 2)^{2} + |b - 1| = 0 $,求代数式 $ 5(3a^{2}b - ab^{2}) - (ab^{2} + 3a^{2}b) $ 的值；
(3) $ (3a - 2a^{2}) - [5a - \frac{1}{3}(6a^{2} - 9a) - 4a^{2}] $,其中 $ a = -\frac{1}{4} $；
(4) 已知 $ a^{2} - b^{2} = 6,ab = 2 $,求代数式 $ 2a^{2} - [(3ab + b^{2}) - (a^{2} - ab - 2b^{2})] $ 的值.

答案： （1）原式$=4x^{2}+2x-1$,当$x=\frac{1}{2}$时,原式=1.（2）原式$=12a^{2}b-6ab^{2}$,由题意,得$a=-2,b=1$,原式=60.（3）原式$=4a^{2}-5a$,当$a=-\frac{1}{4}$时,原式$=\frac{3}{2}$.（4）原式$=3(a^{2}-b^{2})-4ab$,当$a^{2}-b^{2}=6,ab=2$时,原式=10.

21. 已知：$ -a $ 是最大的负整数,$ |b| = 1,|c| = 5 $,且 $ bc ＜ 0,b + c ＞ 0 $ 请回答问题.
(1) 请直接写出 $ a,b,c $ 的值：$ a = $1,$ b = $-1,$ c = $5；
(2) 在数轴上,$ a,b,c $ 所对应的点分别为 $ A,B,C $,点 $ P $ 为一动点,其对应的数为 $ x $,点 $ P $ 在 $ A $ 到 $ B $ 之间运动时,请化简式子：$ |x + 1| - 3|x - 1| - 2|x - 5| $；(写出化简过程)
(3) 在(1)(2)的条件下,点 $ A,B,C $ 开始在数轴上运动,若点 $ B $ 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动,同时,点 $ A $ 和点 $ C $ 分别以每秒 3 个单位长度和 5 个单位长度的速度向右运动,假设 $ t $ 秒钟过后,若点 $ B $ 与点 $ C $ 之间的距离表示为 $ BC $,点 $ A $ 与点 $ B $ 之间的距离表示为 $ AB $. 请问：$ 2BC - 3AB $ 的值是否随着时间 $ t $ 的变化而改变？若变化,请说明理由；若不变,请求其值.
（2）∵点A表示的数为1,点B表示的数为-1,P为AB之间的点，
∴$-1\leq x\leq1$,
∴$x+1\geq0,x-1\leq0,x-5＜0$,则原式$=x+1+3(x-1)+2(x-5)=x+1+3x-3+2x-10=6x-12$.
（3）由题意,得A对应的数为$(1+3t)$,B对应的数为$(-1-t)$,C对应的数为$(5+5t)$,
∴$AB=(1+3t)-(-1-t)=1+3t+1+t=2+4t$,$BC=(5+5t)-(-1-t)=5+5t+1+t=6+6t$,代入得$2BC-3AB=2(6+6t)-3(2+4t)=12+12t-6-12t=6$.

答案： （1）1 -1 5 （2）
∵点A表示的数为1,点B表示的数为-1,P为AB之间的点，
∴$-1\leq x\leq1$,
∴$x+1\geq0,x-1\leq0,x-5＜0$,则原式$=x+1+3(x-1)+2(x-5)=x+1+3x-3+2x-10=6x-12$.（3）由题意,得A对应的数为$(1+3t)$,B对应的数为$(-1-t)$,C对应的数为$(5+5t)$,
∴$AB=(1+3t)-(-1-t)=1+3t+1+t=2+4t$,$BC=(5+5t)-(-1-t)=5+5t+1+t=6+6t$,代入得$2BC-3AB=2(6+6t)-3(2+4t)=12+12t-6-12t=6$.