《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

7. 当 $k$ 取什么整数时,关于 $x$ 的方程 $\frac{x - 4}{8} - \frac{kx - 1}{4} = \frac{1}{2}$ 的解是正整数？

答案： 0或-1

8. 已知方程 $\frac{2x - 3}{5} = \frac{2}{3}x - 3$ 与方程 $3n - \frac{1}{4} = 3(x + n) - 2n$ 的解相同,求 $(2n - 27)^{2}$ 的值.

答案： $\frac{1}{16}$

9. 李明同学在解方程 $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 1$ 去分母时,方程右边的 $- 1$ 没有乘 $3$,因而求得方程的解为 $x = 2$,试求 $a$ 的值,并正确地解方程.

答案： 由题意,得$x=2$是方程$2x-1=x+a-1$的解,所以$a=2$,原方程的解为$x=0$.

10. 已知方程 $(m + 1)x^{|m|} - 8 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程.
(1)求代数式 $5x^{2} - 2(xm + 2x^{2}) - (xm + 6)$ 的值；
(2)求关于 $y$ 的方程 $m|y - 2| = x$ 的解.

答案：
(1) 因为方程$(m+1)x^{|m|}-8=0$是关于x的一元一次方程,所以$|m|=1$且$(m+1)≠0$,所以$m=1$,原一元一次方程为$2x-8=0$,解得$x=4$,原式$=5x²-2(xm+2x²)-(xm+6)=5x²-2x-4x²-x-6=x²-3x-6$,当$x=4$时,原式$=4²-4×3-6=-2$.
(2) $m=1$代入方程为$|y-2|=4$,所以$y-2=4$或$y-2=-4$,解得$y=6$或$y=-2$.

11. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空. 诗中后两句的意思是如果每一间客房住 $7$ 人,那么有 $7$ 人无房可住；如果每一间客房住 $9$ 人,那么就空出一间房.
(1)该店有客房多少间？房客多少人？
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加. 每间客房收费 $20$ 钱,且每间客房最多入住 $4$ 人,一次性定客房 $18$ 间及以上(含 $18$ 间),房费按八折优惠. 若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更划算？

答案：
(1) 设该店有客房x间.由题意,得$7x+7=9x-9$,解得$x=8$,$7×8+7=63$(人).所以该店有客房8间,房客63人.
(2) 如果每4人一个房间,$63÷4=15\frac{3}{4}$(间),需要16间客房,总费用为$16×20=320$(钱). 如果订18间,其中有四个人一起住,有三个人一起住,则总费用为$18×20×0.8=288$(钱),$288＜320$,所以它们再次入住订18间房时更划算.