《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

9. 若单项式$\frac{1}{3}a^{m + 1}b^{3}与- 2a^{3}b^{n}$的和仍是单项式,求方程$\frac{x - 7}{n} - \frac{1 + x}{m} = 1$的解.

答案： 因为单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^{3}$与$-2a^{3}b^{n}$的和仍是单项式,所以$\begin{cases} m+1=3, \\ n=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=2, \\ n=3, \end{cases}$所以$\frac{x-7}{n}-\frac{1+x}{m}=\frac{x-7}{3}-\frac{1+x}{2}=1$,解得$x=-23$.

1. 已知方程$\frac{1}{3} - 3(x - \frac{1}{2022}) = \frac{5}{6}$,则式子$11 + 2(\frac{1}{2022} - x)$的值为(B)
A.$\frac{17}{3}$
B.$\frac{34}{3}$
C.$\frac{17}{6}$
D.$\frac{34}{6}$

答案： B

2. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”意思是有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完,大、小和尚各多少人?设小和尚有$x$人,由题意列方程得(A)
A.$\frac{x}{3} + 3(100 - x) = 100$
B.$3x + \frac{100 - x}{3} = 100$
C.$\frac{x}{3} - 3(100 - x) = 100$
D.$3x - \frac{100 - x}{3} = 100$

答案： A

3. 如果两个方程的解相差1,那么称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”.若关于$x的方程3x + m = 0是关于x的方程2(x - 2) = - 4(3 + x)$的“后移方程”,则$m$的值为1.

答案： 1

4. 解下列方程:
(1) $\frac{x - 3}{4} - \frac{x - 4}{3} = \frac{1}{2}$;
(2) $\frac{x + 1}{4} - 1 = \frac{2x - 1}{6}$;
(3) $\frac{x + 3}{4} - 1 = \frac{x - 3}{2} - 2$;
(4) $\frac{0.4x - 0.1}{0.5} = \frac{0.1 + 0.2x}{0.3} - 0.6$.

答案： $(1)$ 解方程$\frac{x - 3}{4} - \frac{x - 4}{3} = \frac{1}{2}$
解：
给方程两边同时乘以$12$去分母得：
$12×\frac{x - 3}{4}-12×\frac{x - 4}{3}=12×\frac{1}{2}$
即$3(x - 3)-4(x - 4)=6$
去括号得$3x-9 - 4x + 16 = 6$
移项得$3x-4x=6 + 9 - 16$
合并同类项得$-x=-1$
系数化为$1$得$x = 1$。
$(2)$ 解方程$\frac{x + 1}{4} - 1 = \frac{2x - 1}{6}$
解：
给方程两边同时乘以$12$去分母得：
$12×\frac{x + 1}{4}-12×1=12×\frac{2x - 1}{6}$
即$3(x + 1)-12 = 2(2x - 1)$
去括号得$3x+3 - 12 = 4x - 2$
移项得$3x-4x=-2 - 3 + 12$
合并同类项得$-x = 7$
系数化为$1$得$x=-7$。
$(3)$ 解方程$\frac{x + 3}{4} - 1 = \frac{x - 3}{2} - 2$
解：
给方程两边同时乘以$4$去分母得：
$(x + 3)-4 = 2(x - 3)-8$
去括号得$x + 3 - 4 = 2x - 6 - 8$
移项得$x-2x=-6 - 8 - 3 + 4$
合并同类项得$-x=-13$
系数化为$1$得$x = 13$。
$(4)$ 解方程$\frac{0.4x - 0.1}{0.5} = \frac{0.1 + 0.2x}{0.3} - 0.6$
解：
先将方程中的小数化为整数，分子分母同时乘以$10$得$\frac{4x - 1}{5}=\frac{1 + 2x}{3}-0.6$
给方程两边同时乘以$15$去分母得：
$3(4x - 1)=5(1 + 2x)-9$
去括号得$12x-3 = 5 + 10x-9$
移项得$12x-10x=5 - 9 + 3$
合并同类项得$2x=-1$
系数化为$1$得$x=-\frac{1}{2}$。
综上，答案依次为：$(1)x = 1$；$(2)x=-7$；$(3)x = 13$；$(4)x=-\frac{1}{2}$。