《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

8. 已知 $ M = 2a^2 - ab + b - 1 $,$ M - 3N = a^2 + 3ab + 2b + 1 $。计算 $ M - [2N - (M - N)] $ 的结果与字母 $ b $ 的取值无关,求 $ a $ 的值。

答案： 原式$=M-[2N-(M-N)]=M-2N+M-N=M+M-3N$,把$M=2a^{2}-ab+b-1$,$M-3N=a^{2}+3ab+2b+1$代入,得原式$=2a^{2}-ab+b-1+a^{2}+3ab+2b+1=3a^{2}+2ab+3b=3a^{2}+(2a+3)b$,因为计算$M-[2N-(M-N)]$的结果与字母b的取值无关,所以$2a+3=0$,解得$a=-\frac{3}{2}$.

9. 小明做一道数学题：“已知两个多项式 $ A = □ x^2 - 4x $,$ B = 2x^2 + 3x - 4 $,试求 $ A + 3B $。”其中多项式 $ A $ 中最高次项的系数印刷不清楚。
(1) 小明看答案以后知道 $ A + 3B = x^2 + 5x - 12 $,请你帮小明求出多项式 $ A $ 中最高次项的系数“$ □ $”；
(2) 在(1)的基础上,老师又给出了一个多项式 $ C $,要求小明求出 $ A - C $ 的结果。小明在求解时,误把“$ A - C $”看成“$ A + C $”,结果求出的答案为 $ x^2 - 7x - 3 $。请你帮小明求出“$ A - C $”的正确答案。

答案： （1）$\because B=2x^{2}+3x-4$,$\therefore 3B=3(2x^{2}+3x-4)=6x^{2}+9x-12$,$\because A+3B=x^{2}+5x-12$,$\therefore A=(x^{2}+5x-12)-(6x^{2}+9x-12)=x^{2}+5x-12-6x^{2}-9x+12=-5x^{2}-4x$,$\therefore$多项式A中最高次项的系数“□”为-5. （2）$\because A=-5x^{2}-4x$,$A+C=x^{2}-7x-3$,$\therefore C=(x^{2}-7x-3)-(-5x^{2}-4x)=x^{2}-7x-3+5x^{2}+4x=6x^{2}-3x-3$,$\therefore A-C=(-5x^{2}-4x)-(6x^{2}-3x-3)=-5x^{2}-4x-6x^{2}+3x+3=-11x^{2}-x+3$.

10. 我们规定：使得 $ a - b = 2ab $ 成立的一对数 $ a,b $ 为“有趣数对”,记为 $ (a,b) $。例如：因为 $ 2 - 0.4 = 2×2×0.4 $,$ (-1) - 1 = 2×(-1)×1 $,所以数对 $ (2,0.4) $,$ (-1,1) $ 都是“有趣数对”。
(1) 在数对 $ (1,\frac{1}{3}) $,$ (1.5,3) $,$ (-\frac{1}{2},-1) $ 中是“有趣数对”的是$(1,\frac{1}{3})$；
(2) 若 $ (k,-3) $ 是“有趣数对”,求 $ k $ 的值；
因为$(k,-3)$是“有趣数对”,所以$k-(-3)=2× k×(-3)$,解得$k=-\frac{3}{7}$.
(3) 若 $ (m,n) $ 是“有趣数对”,求代数式 $ 8[3mn - \frac{1}{2}m - 2(mn - 1)] - 4(3m^2 - n) + 12m^2 $ 的值。
原式$=8(3mn-\frac{1}{2}m-2mn+2)-12m^{2}+4n+12m^{2}=24mn-4m-16mn+16-12m^{2}+4n+12m^{2}=8mn-4m+4n+16=8mn-4(m-n)+16$,因为$(m,n)$是“有趣数对”,所以$m-n=2mn$.把$m-n=2mn$代入,得原式=16.

答案： （1）$(1,\frac{1}{3})$ （2）因为$(k,-3)$是“有趣数对”,所以$k-(-3)=2× k×(-3)$,解得$k=-\frac{3}{7}$. （3）原式$=8(3mn-\frac{1}{2}m-2mn+2)-12m^{2}+4n+12m^{2}=24mn-4m-16mn+16-12m^{2}+4n+12m^{2}=8mn-4m+4n+16=8mn-4(m-n)+16$,因为$(m,n)$是“有趣数对”,所以$m-n=2mn$.把$m-n=2mn$代入,得原式=16.