《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

17. 定义：关于 $x$ 的方程 $ax - b = 0$ 与 $bx - a = 0$($a$,$b$ 均为不等于 $0$ 的常数)称互为“反对方程”. 例如：方程 $2x - 1 = 0$ 与 $x - 2 = 0$ 互为“反对方程”；方程 $3x - 2 = 2x + 3$,通过转化可得 $x - 5 = 0$,所以 $3x - 2 = 2x + 3$ 与 $5x - 1 = 0$ 互为“反对方程”.
(1) 若关于 $x$ 的方程 $3x - 2 = 0$ 与 $2x - a = 0$($a$ 为不等于 $0$ 的常数)互为“反对方程”,则 $a=$3；
(2) 若关于 $x$ 的方程 $5x - b = 2$($b$ 为不等于 $0$ 的常数)的解为 $x = 3$,求 $b$ 的值及它的“反对方程”的解；
$\because$关于$x$的方程$5x-b=2$($b$为不等于0的常数)的解为$x=3$，$\therefore 15-b=2$，解得$b=13$，$\therefore$方程$5x-b=2$化成$ax-b=0$的形式为$5x-15=0$，$\therefore$关于$x$的方程$5x-b=2$($b$为不等于0的常数)的“反对方程”为$15x-5=0$，解得$x=\dfrac{1}{3}$.
(3) 若关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2025}x - c= -x + 5$($c$ 为不等于 $0$ 的常数)的解为 $x = 2025$,求 $(c + 5)x-\frac{1}{2025}= 1$ 的解.
$\because \dfrac{1}{2025}x-c=-x+5$，$\dfrac{1}{2025}x+x-c-5=0$，$\therefore \dfrac{2026}{2025}x-(c+5)=0$.$\because$关于$x$的方程$\dfrac{1}{2025}x-c=-x+5$($c$为不等于0的常数)的解为$x=2025$，$\therefore 1-c=-2025+5$，解得$c=2021$，$\therefore$关于$x$的方程$\dfrac{1}{2025}x-c=-x+5$($c$为不等于0的常数)的“反对方程”为$(c+5)x-\dfrac{2026}{2025}=0$，把$c=2021$代入$(c+5)x-\dfrac{2026}{2025}=0$，得$2026x=\dfrac{2026}{2025}$，$x=\dfrac{1}{2025}$，$\therefore$方程$(c+5)x-\dfrac{1}{2025}=1$的解为$x=\dfrac{1}{2025}$.

答案： （1）3 （2）$\because$关于$x$的方程$5x-b=2$($b$为不等于0的常数)的解为$x=3$，$\therefore 15-b=2$，解得$b=13$，$\therefore$方程$5x-b=2$化成$ax-b=0$的形式为$5x-15=0$，$\therefore$关于$x$的方程$5x-b=2$($b$为不等于0的常数)的“反对方程”为$15x-5=0$，解得$x=\dfrac{1}{3}$. （3）$\because \dfrac{1}{2025}x-c=-x+5$，$\dfrac{1}{2025}x+x-c-5=0$，$\therefore \dfrac{2026}{2025}x-(c+5)=0$.$\because$关于$x$的方程$\dfrac{1}{2025}x-c=-x+5$($c$为不等于0的常数)的解为$x=2025$，$\therefore 1-c=-2025+5$，解得$c=2021$，$\therefore$关于$x$的方程$\dfrac{1}{2025}x-c=-x+5$($c$为不等于0的常数)的“反对方程”为$(c+5)x-\dfrac{2026}{2025}=0$，把$c=2021$代入$(c+5)x-\dfrac{2026}{2025}=0$，得$2026x=\dfrac{2026}{2025}$，$x=\dfrac{1}{2025}$，$\therefore$方程$(c+5)x-\dfrac{1}{2025}=1$的解为$x=\dfrac{1}{2025}$.

18. 对于任意四个有理数 $a$,$b$,$c$,$d$,可以组成两个有理数对 $(a,b)$ 与 $(c,d)$. 规定：$(a,b)★(c,d)= ad - bc$. 如：$(1,2)★(3,4)= 1×4 - 2×3= -2$.
根据以上规定,解答下列问题：
(1) 有理数对 $(5,-3)★(3,2)=$19；
(2) 若有理数对 $(-3,x - 1)★(2,2x + 1)= 15$,求 $x$ 的值；
$x=-2$
(3) 若有理数对 $(2,x - 1)★(k,2x + k)$ 的值与 $x$ 的取值无关,求 $k$ 的值.
$k=4$

答案： （1）19 （2）$x=-2$ （3）$k=4$