《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

1. 阅读下列材料：
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统,约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制.也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.为了区分不同的进位制,常在数的右下角标明基数.例如：$(1101)_2$就是二进制数 1101 的简单写法,十进制数一般不标注基数,$(\overline{abc})_n表示这个n$进制数从右起,第一位上的数字为$c$,第二位上的数字为$b$,第三位上的数字为$a$.一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.例如十进制数$5678 = 5×10^3 + 6×10^2 + 7×10^1 + 8×10^0$(规定当$a≠0$时,$a^0 = 1$).同理,二进制数$(1101)_2转换为十进制数为1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 13$.一个十进制数转换为$n$进制数时,把十进制数表示成$0,1,2,…,n - 1与基数n$的幂的乘积之和的形式.例如,将十进制数 46 转换为三进制数,因为$27 ＜ 46 ＜ 81$,即$3^3 ＜ 46 ＜ 3^4$,所以$46 = 1×3^3 + 2×3^2 + 0×3^1 + 1×3^0$,所以 46 转换为三进制数为$(1201)_3$.
根据上述材料,把十进制数 21 转换为二进制数是10101.

答案： 10101

2. 日常生活中我们使用的数是十进制数,数的进位方法是“逢十进一”,而计算机使用的数是二进制数,即数的进位方法是“逢二进一”,二进制数只使用数字 0,1,如二进制数 1101 记为$(1101)_2$,$(1101)_2通过式子1×2^3 + 1×2^2 + 0×2 + 1×2^0$可以转换为十进制数 13.仿照上面的转换方法,将二进制数$(11101)_2$转换为十进制数是29,二进制数$(1110100)_2$可转换成十进制数116.

答案： 29 116

3. 我们知道,计算机的运算模式是二进制.计数的进位方法是“逢二进一”,如二进制数 100110 记为$(100110)_2$,$(100110)_2通过式子1×2^5 + 0×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0$可以转换为十进制数 38,请将十进制数 55 转换成二进制码是$(110111)_2$.

答案： $(110111)_2$

4. 生活中常用的十进制是用$0～9$这十个数字来表示数,满十进一,如,$234 = 2×10^2 + 3×10^1 + 4×10^0$.计算机常用二进制来表示字符代码,它是用 0 和 1 两个数来表示数,满二进一,如,二进制数“1101”转化为十进制数：$1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 13$；二进制数“10000”转化为十进制数：$1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0 = 16$,(说明：① 非零有理数的 0 次方都是 1；② 其他进制也有类似的算法.)
(1)【发现】根据以上信息,将二进制数“101101”转化为十进制数是45.
(2)【迁移】将八进制数“175”转化为十进制数.
$(175)_8=1× 8^2+7× 8^1+5× 8^0=125$
(3)【应用】在我国远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”,如图是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满五进一,根据图示,求孩子已经出生的天数.
$1× 5^3+2× 5^2+3× 5^1+4× 5^0=194$(天)

答案： （1）$(101101)_2=1× 2^5+0× 2^4+1× 2^3+1× 2^2+0× 2^1+1× 2^0=45$.
（2）$(175)_8=1× 8^2+7× 8^1+5× 8^0=125$.（3）$1× 5^3+2× 5^2+3× 5^1+4× 5^0=194$(天).