《2025年拔尖特训七年级数学上册浙教版》

典例1 设x,y,c是有理数,则下列说法中,正确的是(B)
A.若x= y,则x+c= y-c
B.若x= y,则xc= yc
C.若x= y,则$\frac{x}{c}= \frac{y}{c}$
D.若$\frac{x}{2c}= \frac{y}{3c}$,则2x= 3y
[变式] 有下列说法：① 若a= b,则3(a+1)= 3(b+1)；② 若-2a= -3,则a= $\frac{2}{3}$；③ 若$\frac{a}{c}= \frac{b}{c}(c≠0)$,则a= b；④ 若a= b,则$\frac{a}{c^{2}+1}= \frac{b}{c^{2}+1}$.其中,正确的是 (填序号).

答案： B; ①③④

典例2 (2024·嘉兴期末)已知a为实数,关于x的方程$\frac{x}{2024}+a= 2024x$的解为x= 5,则关于y的方程$\frac{y-2}{2024}+a+4048= 2024y$的解为y=7.
[变式] (2023·杭州西湖段考)若关于x的一元一次方程3x+2a= 2(x-b)的解是x= -6,则a+b的值是3.

答案： 7; 3

典例3 解方程：
(1)(2024·绍兴嵊州期末)$\frac{x-1}{2}= 1-\frac{3x+2}{5}$.
(2)$\frac{0.1x-0.5}{0.2}= \frac{0.02x+0.03}{0.03}-2$.
[变式] 解方程：$\frac{3}{4}\left[\frac{4}{3}\left(\frac{1}{4}x-1\right)+8\right]=\frac{7}{3}+\frac{2x}{3}$.

答案： （1）解方程$\frac{x - 1}{2}=1-\frac{3x + 2}{5}$
解：
去分母（方程两边同时乘以$10$），得$5(x - 1)=10 - 2(3x + 2)$。
去括号，得$5x-5 = 10-6x - 4$。
移项，得$5x + 6x=10 - 4 + 5$。
合并同类项，得$11x = 11$。
系数化为$1$（方程两边同时除以$11$），得$x = 1$。
（2）解方程$\frac{0.1x - 0.5}{0.2}=\frac{0.02x + 0.03}{0.03}-2$
解：
先将方程中的小数化为整数，根据分数的基本性质，$\frac{0.1x - 0.5}{0.2}=\frac{x - 5}{2}$，$\frac{0.02x + 0.03}{0.03}=\frac{2x + 3}{3}$，
原方程可化为$\frac{x - 5}{2}=\frac{2x + 3}{3}-2$。
去分母（方程两边同时乘以$6$），得$3(x - 5)=2(2x + 3)-12$。
去括号，得$3x-15 = 4x + 6-12$。
移项，得$3x - 4x=6 - 12 + 15$。
合并同类项，得$-x = 9$。
系数化为$1$（方程两边同时乘以$-1$），得$x=-9$。
[变式]解方程$\frac{3}{4}[\frac{4}{3}(\frac{1}{4}x - 1)+8]=\frac{7}{3}+\frac{2x}{3}$
解：
先去中括号，$\frac{3}{4}×\frac{4}{3}(\frac{1}{4}x - 1)+\frac{3}{4}×8=\frac{7}{3}+\frac{2x}{3}$，
即$(\frac{1}{4}x - 1)+6=\frac{7 + 2x}{3}$。
去括号，得$\frac{1}{4}x - 1+6=\frac{7 + 2x}{3}$，
$\frac{1}{4}x + 5=\frac{7 + 2x}{3}$。
去分母（方程两边同时乘以$12$），得$3x + 60 = 4(7 + 2x)$。
去括号，得$3x + 60 = 28 + 8x$。
移项，得$3x - 8x=28 - 60$。
合并同类项，得$-5x=-32$。
系数化为$1$（方程两边同时除以$-5$），得$x=\frac{32}{5}$。
综上，（1）$x = 1$；（2）$x=-9$；[变式]$x=\frac{32}{5}$。