《2025年拔尖特训七年级数学上册浙教版》

10. 一个长方形养鸡场的长边靠墙,墙长 14 米,其他三边用竹篱笆围成. 现有长为 35 米的竹篱笆,小王的设计方案为长比宽多 5 米；小赵的设计方案为长比宽多 2 米. 你认为谁的方案符合实际？按照他的方案,养鸡场的面积是多少？

答案： 根据小王的方案,可设宽为x米,则长为(x+5)米.根据题意,得2x+(x+5)=35,解得x=10.所以小王设计的养鸡场的长为10+5=15(米).因为墙的长度只有14米,所以小王的方案不符合实际.根据小赵的方案,可设宽为y米,则长为(y+2)米.根据题意,得2y+(y+2)=35,解得y=11.所以小赵设计的养鸡场的长为11+2=13(米).因为墙的长度为14米,所以小赵的方案符合实际,此时养鸡场的面积为13×11=143(平方米).

11. 将底面半径分别为 5 cm 和 15 cm、高均为 30 cm 的两个圆柱形容器注满水,再将两个容器内的水都倒入底面半径为 20 cm、高为 30 cm 的圆柱形容器中,水是否会溢出？若会溢出,请说明理由；若不会溢出,请求出容器内水面离容器口的距离(容器壁的厚度忽略不计).

答案： 水不会溢出.设将水倒入底面半径为20 cm的圆柱形容器后,水的高度为x cm.根据题意,得π×5²×30+π×15²×30=π×20²x,解得x=18 3/4.因为18 3/4＜30,所以水不会溢出.所以容器内水面离容器口的距离为30-18 3/4=11 1/4(cm).

12. 如图,水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高),底面半径之比为 1∶2∶1,用两根相同的管子在容器的 5 cm 高度处连通(即管子底端离容器底部的距离是 5 cm),现三个容器中,只有甲容器中有水,且水的高度为 1 cm. 若同时向乙容器和丙容器中按相同的速度注入水,开始注水 1 min,乙容器中水的高度为$\frac{5}{6}$cm,则开始注入多少分钟的水后,甲容器与乙容器中水的高度差是 0.5 cm(容器壁的厚度忽略不计)？

答案： 因为甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)的底面半径之比为1:2:1,同时向乙容器和丙容器中按相同的速度注入水,且开始注水1 min,乙容器中水的高度为5/6 cm,所以易得开始注水1 min,丙容器中水的高度为5/6×2²=10/3(cm).设开始注入t min的水后,甲容器与乙容器中水的高度差是0.5 cm.分三种情况讨论:① 当乙容器中水的高度比甲容器中水的高度低0.5 cm时,有1-5/6 t=0.5,解得t=3/5.经检验,符合题意.② 当甲容器中水的高度比乙容器中水的高度低0.5 cm,且甲容器中水的高度仍为1 cm时,有5/6 t-1=0.5,解得t=9/5.因为10/3×9/5=6(cm),6＞5,所以此时丙容器已向乙容器溢水,即t=9/5不符合题意.因为5÷10/3=3/2(min),当t=3/2时,乙容器中水的高度为5/6×3/2=5/4(cm),即开始注水3/2 min后,丙容器中的水到达管子底端,乙容器中水的高度为5/4 cm,所以5/4+2×5/6(t-3/2)-1=0.5,解得t=33/20.经检验,符合题意.③ 当甲容器中水的高度比乙容器中水的高度低,乙容器中的水到达管子底端,甲容器中水的高度大于1 cm时,因为乙容器中的水到达管子底端的时间为3/2+(5-5/4)÷(5/6×2)=15/4(min),所以5-1-2×10/3(t-15/4)=0.5,解得t=171/40.经检验,符合题意.综上所述,开始注入3/5 min或33/20 min或171/40 min的水后,甲容器与乙容器中水的高度差是0.5 cm.