《2025年拔尖特训七年级数学上册浙教版》

5. 观察下列等式：
第1个等式：$1-\frac{1}{2^2}= \frac{1}{2}×\frac{3}{2}$；
第2个等式：$1-\frac{1}{3^2}= \frac{2}{3}×\frac{4}{3}$；
第3个等式：$1-\frac{1}{4^2}= \frac{3}{4}×\frac{5}{4}$；
…
按上述规律,回答下列问题：
(1)请写出第4个等式.
(2)计算：$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)×\left(1-\frac{1}{3^2}\right)×…×\left(1-\frac{1}{19^2}\right)×\left(1-\frac{1}{20^2}\right)$.

答案： （1）第4个等式是1-$\frac{1}{5^2}$=$\frac{4}{5}$×$\frac{6}{5}$.
（2）(1-$\frac{1}{2^2}$)×(1-$\frac{1}{3^2}$)×…×(1-$\frac{1}{19^2}$)×(1-$\frac{1}{20^2}$)=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{19}{20}$×$\frac{21}{20}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{21}{20}$=$\frac{21}{40}$.

6. 仔细观察下列两组数：
第一组：1,4,9,16,25,….
第二组：0,-3,-8,-15,-24,….
(1)第一组数是按什么规律排列的？第二组数与第一组数有什么关系？
(2)取每组的第20个数,计算这两个数的和.

答案： （1）通过观察发现:1=1$^2$,4=2$^2$,9=3$^2$,16=4$^2$,25=5$^2$,…，所以第一组数为从1开始的连续正整数的平方.因为0=-1+1,-3=-4+1,-8=-9+1,-15=-16+1,-24=-25+1,…，所以第二组数为第一组数的相反数加上1.
（2）第一组数的第20个数为20$^2$,第二组数的第20个数为-20$^2$+1，所以20$^2$+(-20$^2$+1)=1.所以取每组的第20个数,这两个数的和为1.

7. 神舟十三号飞船在太空中绕地球飞行,飞行时离地面的高度约为400千米,每秒约飞行7.9千米,求飞船绕地球飞行一周大约需要多少小时(地球的半径约为6400千米,$\pi$取3.14,结果保留两位小数).

答案： 2π×(6400+400)÷7.9×$\frac{1}{3600}$≈1.50(小时).所以飞船绕地球飞行一周大约需要1.50小时.

8. 新情境·日常生活 某农场正值苹果丰收季节,安排5名员工进行苹果采摘工作,规定：采摘质量以100 kg为标准,超出部分记作正数,不足部分记作负数.某天这5名员工采摘苹果的实际情况如下表：
|员工编号|1|2|3|4|5|
|采摘质量/kg|+10|-15|+24|+12|-25|

(1)该农场预计每天采摘苹果500 kg,通过计算说明当天这5名员工采摘的苹果的总质量是否达到了预计质量.
(2)该农场的工资标准如下：每人每天的工资为200元,若采摘的苹果质量未达到标准质量,则每少1 kg扣2元；若超出标准质量,则每多1 kg奖励3元.当天该农场共需支付工资多少元？

答案： （1）[(+10)+(-15)+(+24)+(+12)+(-25)]+100×5=6+500=506(kg),506＞500，所以当天这5名员工采摘的苹果的总质量达到了预计质量.
（2）200×5+(10+24+12)×3-(15+25)×2=1058(元)，所以当天该农场共需支付工资1058元.