《2025年拔尖特训七年级数学上册浙教版》

典例3 ★计算：
(1)$\left(\frac{3}{2}\right)^2× \left(-1\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{1}{2}÷ (-0.5^2)$.
(2)$3\frac{1}{6}× \left(3\frac{1}{7}-7\frac{1}{3}\right)× \frac{6}{19}÷ 1\frac{1}{21}$.
(3)$\left(+8\frac{2}{3}\right)÷ (-2.9)-\left(-10\frac{2}{3}\right)÷ (-2.9)+9\frac{2}{3}÷ (-2.9)$.
[变式] 计算：
(1)$(-1)^4+\frac{1}{30}-\left(-\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right)÷ (-2)$.
(2)$-\frac{3}{2}× \left(-\frac{3}{5}\right)^2-2\frac{5}{19}× \frac{19}{43}× \left(-1\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{4}{5}\right)^2× \left(-\frac{3}{2}\right)$.

答案： 典例3 （1）原式=$\frac{9}{4}×\left(-\frac{3}{2}\right)-\frac{4}{9}-\frac{1}{2}÷\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{27}{8}-\frac{4}{9}+2=-\frac{131}{72}$.
（2）原式=$\frac{19}{6}×\left(\frac{22}{7}-\frac{22}{3}\right)×\frac{6}{19}×\frac{21}{22}=\left(\frac{19}{6}×\frac{6}{19}\right)×\left(\frac{22}{7}-\frac{22}{3}\right)×\frac{21}{22}=1×\left(\frac{22}{7}×\frac{21}{22}-\frac{22}{3}×\frac{21}{22}\right)=3-7=-4$.
（3）原式=$\frac{26}{3}÷\left(-\frac{29}{10}\right)-\left(-\frac{32}{3}\right)÷\left(-\frac{29}{10}\right)+\frac{29}{3}÷\left(-\frac{29}{10}\right)=\frac{26}{3}×\left(-\frac{10}{29}\right)-\left(-\frac{32}{3}\right)×\left(-\frac{10}{29}\right)+\frac{29}{3}×\left(-\frac{10}{29}\right)=\left(-\frac{10}{29}\right)×\left[\frac{26}{3}-\left(-\frac{32}{3}\right)+\frac{29}{3}\right]=-\frac{10}{29}×29=-10$.
[变式] （1）原式=$1+\frac{1}{30}-\left(-\frac{1}{15}\right)×\left(-\frac{1}{2}\right)=1+\frac{1}{30}-\frac{1}{30}=1$.
（2）原式=$-\frac{3}{2}×\left[\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}-2\frac{5}{19}×\frac{19}{43}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}\right]=-\frac{3}{2}×\left(\frac{9}{25}-\frac{43}{19}×\frac{19}{43}+\frac{16}{25}\right)=-\frac{3}{2}×\left(\frac{9}{25}+\frac{16}{25}-1\right)=-\frac{3}{2}×0=0$.

典例4 观察下列运算：$8^1= 8$,$8^2= 64$,$8^3= 512$,$8^4= 4096$,$8^5= 32768$,$8^6= 262144$,…,则$8^1+8^2+8^3+8^4+\dots +8^{2025}$的个位数字是8.
提示
先判断$8^n$的个位数字的规律,再找出相邻几个幂的和的个位数字的规律,由此进行判断.
[变式] 观察下列算式：$2^1= 2$,$2^2= 4$,$2^3= 8$,$2^4= 16$,$2^5= 32$,$2^6= 64$,$2^7= 128$,$2^8= 256$,…,则$2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+\dots +2^{2026}$的个位数字是 (B)
A.8
B.6
C.4
D.0

答案： 典例4 8 解析:由$8^{1}=8$,$8^{2}=64$,$8^{3}=512$,$8^{4}=4\ 096$,$8^{5}=32\ 768$,$8^{6}=262\ 144\cdots\cdots$发现$8^{n}$的个位数字的规律是以8,4,2,6四个数字为一组循环.因为$8^{1}$的个位数字是8,$8^{1}$,$8^{2}$的个位数字的和是$8+4=12$,即$8^{1}+8^{2}$的个位数字是2,同理,可得$8^{1}+8^{2}+8^{3}$的个位数字是4,$8^{1}+8^{2}+8^{3}+8^{4}$的个位数字是0,$8^{1}+8^{2}+8^{3}+8^{4}+8^{5}$的个位数字是8,所以$8^{1}+8^{2}+8^{3}+8^{4}+\cdots+8^{n}$的个位数字的规律是以8,2,4,0四个数字为一组循环.因为$2\ 025÷4=506\cdots\cdots1$,所以$8^{1}+8^{2}+8^{3}+8^{4}+\cdots+8^{2\ 025}$的个位数字是8.
[变式] B 解析:因为$2^{1}=2$,$2^{2}=4$,$2^{3}=8$,$2^{4}=16$,$2^{5}=32$,$2^{6}=64$, $2^{7}=128$,$2^{8}=256$,$\cdots$,所以个位数字以2,4,8,6四个数字为一组循环.因为$2+4+8+6=20$,个位数字是0,而$2\ 026÷4=506\cdots\cdots2$,所以$2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+\cdots+2^{2\ 026}$的个位数字与$2^{1}+2^{2}$的个位数字相同.因为$2^{1}=2$, $2^{2}=4$,所以$2^{1}+2^{2}$的个位数字是6.所以$2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+\cdots+2^{2\ 026}$的个位数字是6.

典例5 气象资料表明：在连云港地区,海拔每上升100 m,气温就会上升约$-0.7^{\circ}C$.小明和小林为考证江苏第一高峰——玉女峰的海拔,国庆期间他们进行了实地测量.小明在山下一个海拔为25 m的小山坡上测得气温为$20^{\circ}C$,同一时刻,小林在玉女峰的最高位置测得气温为$15.8^{\circ}C$,则玉女峰的海拔约是多少米？625
[变式] 因强冷空气南下,预计某地平均每小时气温变化$-1.5^{\circ}C$.如果某天上午10时测得该地的气温是$8^{\circ}C$,那么下午5时该地的气温是$-2.5\ ^{\circ}\text{C}$.

答案： 典例5 根据题意,得$25+[(15.8-20)÷(-0.7)]×100=625(\text{m})$,所以玉女峰的海拔约是625 m.
[变式] $-2.5\ ^{\circ}\text{C}$ 解析:$(12+5-10)×(-1.5)=-10.5\ ^{\circ}\text{C}$,$8+(-10.5)=-2.5\ ^{\circ}\text{C}$,所以下午5时该地的气温是$-2.5\ ^{\circ}\text{C}$.