《2025年拔尖特训七年级数学上册浙教版》

1. 如果$a = b$,那么下列等式不成立的是(D)
A.$b - 1 = a - 1$
B.$7a + 1 = 7b + 1$
C.$\frac{a}{9} = \frac{b}{9}$
D.$a - 3 = b + 3$

答案： D

2. 要将等式$-\frac{1}{2}x = 1$进行一次变形,得到$x = -2$,则下列做法中,正确的是(D)
A.等式的两边同时加$\frac{3}{2}x$
B.等式的两边同时乘 2
C.等式的两边同时除以-2
D.等式的两边同时乘-2

答案： D

3. (1)由$5x = 4x + y$,得$5x - 4x = y$,在此变形中,等式的两边都加上了$-4x$.
(2)由$\frac{1}{3}a = 2b$,根据等式的性质2,在等式的两边都乘6（或除以$\frac{1}{6}$）,可得$2a = 12b$.

答案： （1）$-4x$ （2）2 乘6（或除以$\frac{1}{6}$）

4. 将等式$3x - 2y = 7$变形成用含y的代数式表示x，则$x = $$\frac{2y+7}{3}$.

答案： $\frac{2y+7}{3}$ 解析：等式的两边都加上$2y$，得$3x=2y+7$.等式的两边都除以3，得$x=\frac{2y+7}{3}$.

5. 利用等式的基本性质解方程:
(1)$-2x = -3x + 8$.
(2)$3x = -10$.
(3)$-\frac{y}{2} - 3 = 9$.

答案： （1）根据等式的性质1，等式的两边都加上$3x$，得$-2x+3x=-3x+8+3x$，即$x=8$.
（2）根据等式的性质2，等式的两边都除以3，得$\frac{3x}{3}=\frac{-10}{3}$，即$x=-\frac{10}{3}$.
（3）根据等式的性质1，等式的两边都加上3，得$-\frac{y}{2}-3+3=9+3$，即$-\frac{y}{2}=12$.
根据等式的性质2，等式的两边都乘$-2$，得$-\frac{y}{2}×(-2)=12×(-2)$，即$y=-24$.

6. 易错题 如果$ma = mb$,那么下列等式不一定成立的是(B)
A.$ma + 2 = mb + 2$
B.$a = b$
C.$-ma = -mb$
D.$ma - 6 = mb - 6$

答案： B 解析：等式$ma=mb$的两边同时加上2，得到$ma+2=mb+2$，故A不符合题意；当$m≠0$时，等式$ma=mb$的两边同时除以$m$，得到$a=b$，当$m=0$时，$a$与$b$的大小关系不确定，故B符合题意；等式$ma=mb$的两边同时乘$-1$，得到$-ma=-mb$，故C不符合题意；等式$ma=mb$的两边同时减去6，得到$ma-6=mb-6$，故D不符合题意.
易错警示
等式两边同时除以某数时，易忽略该数不能为0
运用等式的性质2时，不能忽略除数不能为0这一条件，尤其是除以含字母的式子时，一定要注明除数不为0这一条件.

7. 由$x - 2 = y$,得$5(x - 2) - 7 = 5y - 7$,变形过程中所用的等式的基本性质及其顺序是(A)
A.先用等式的性质 2,再用等式的性质 1
B.只用等式的性质 1
C.只用等式的性质 2
D.无法确定

答案： A 解析：由$x-2=y$，根据等式的性质2，等式的两边都乘5，得$5(x-2)=5y$.再根据等式的性质1，等式的两边都减去7，得$5(x-2)-7=5y-7$.

8. 已知$3m + a = 2n + b$,根据等式的性质 1 将该式变形为$3m = 2n$,则$a$,$b$必须符合的条件为(C)
A.$a = -b$
B.$ab = 1$
C.$a = b$
D.$a$,$b$为任意整式

答案： C 解析：等式$3m+a=2n+b$的两边都减去$b$，得$3m+a-b=2n$.因为等式可变形为$3m=2n$，所以$a-b=0$，即$a=b$.

9. (2023·金华期末)如图,在天平上放若干苹果和香蕉,其中图①②中的天平保持平衡,现要使图③中的天平也保持平衡,需要在天平右边的托盘中放入砝码(C)
A.350 克
B.300 克
C.250 克
D.200 克

答案： C 解析：设一个苹果的质量为$x$克，一根香蕉的质量为$y$克.由题图①，得$2x+y=350$①.由题图②，得$x+2y=400$②.由①+②，得$(2x+y)+(x+2y)=350+400$，即$3x+3y=750$，等式的两边都除以3，得$x+y=250$.因为题图③中的天平左边的托盘中有一个苹果和一根香蕉，所以要使天平保持平衡需要在天平右边的托盘中放入砝码250克.

10. 将等式$3a - 2b = 2a - 2b$变形,过程如下:因为$3a - 2b = 2a - 2b$,所以$3a = 2a$(第一步).所以$3 = 2$(第二步).上述过程中,第一步的依据是等式的性质1,第二步得出了明显错误的结论,其原因是没有考虑$a=0$的情况.

答案： 等式的性质1 没有考虑$a=0$的情况

11. 给出下列等式:① 若$a = b$,则$\frac{a}{-4} = \frac{b}{4}$;② 若$-3(x - 1) = -3(y - 1)$,则$x = -y$;③ 若$\frac{x}{4} - 1 = 2$,则$x - 1 = 8$;④ 若$(m^2 + 1)a = (m^2 + 1)b$,则$a = b$.其中,正确的是④(填序号).

答案： ④ 解析：将$a=b$的两边都除以$-4$，得$\frac{a}{-4}=\frac{b}{-4}$，故①错误；将$-3(x - 1) = -3(y - 1)$的两边都除以$-3$，得$x - 1 = y - 1$，将$x - 1 = y - 1$的两边都加上1，得$x = y$，故②错误；将$\frac{x}{4} - 1 = 2$的两边都乘4，得$x - 4 = 8$，故③错误；易知$m^2 + 1 ≠ 0$，将$(m^2 + 1)a = (m^2 + 1)b$的两边都除以$m^2 + 1$，得$a = b$，故④正确.