《2025年拔尖特训七年级数学上册浙教版》

1. 按一定规律排列的一列数依次为-3,8,-15,24,-35,…,按此规律排列下去,这列数中第n个数(n为正整数)为$ ( )$BA. n(n+2)B. (-1)^n[(n+1)^2-1]C. (-1)^n(n^2-1)D. -n(n+1)

答案： B 解析:根据题意可知,第1个数为$-3=(-1)^{1}×[(1+1)^{2}-1]$,第2个数为$8=(-1)^{2}×[(2+1)^{2}-1]$,第3个数为$-15=(-1)^{3}×[(3+1)^{2}-1]$,第4个数为$24=(-1)^{4}×[(4+1)^{2}-1]$,第5个数为$-35=(-1)^{5}×[(5+1)^{2}-1],...$,第n个数(n为正整数)为$(-1)^{n}[(n+1)^{2}-1].$

2. 按规律排列的一组数如下:$\frac{1}{2},\frac{3}{5}$,□,$\frac{7}{17},\frac{9}{26},\frac{11}{37},…$,其中,□内应填的数是$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac {1}{2}$解析:观察这组数,发现分子为连续的奇数,分母为对应数所在序号的平方加1,所以第n个数为$\frac {2n-1}{n^{2}+1}$.所以当$n=3$时,$\frac {2n-1}{n^{2}+1}=\frac {2×3-1}{3^{2}+1}=\frac {5}{10}=\frac {1}{2}$,即□内应填的数是$\frac {1}{2}.$

3. 观察下列单项式:$xy,4x^2y,7x^3y,10x^4y,13x^5y,16x^6y,…$.
(1)请你写出第8个和第9个单项式.
(2)第n个单项式的系数是多少?
(3)第n个单项式的次数是多少?
(4)根据上面的归纳,请写出第n个单项式.

答案： （1）第8个单项式为$22x^{8}y$,第9个单项式为$25x^{9}y.$
（2）第n个单项式的系数是$3n-2.$
（3）第n个单项式的次数是$n+1.$
（4）第n个单项式为$(3n-2)x^{n}y.$

4. 有一个多项式为$2a^{11}-4a^{10}b+6a^9b^2-8a^8b^3+…$,按此规律写下去.
(1)写出它的第七项和最后一项.
(2)这个多项式是几次几项式?

答案： （1）第七项是$14a^{5}b^{6}$,最后一项是$-24b^{11}.$
（2）这个多项式是十一次十二项式.

5. (2024·杭州拱墅期中)观察下列等式:
第1个等式:$a_1= \frac{1}{1×3}= \frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})$;
第2个等式:$a_2= \frac{1}{3×5}= \frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$;
第3个等式:$a_3= \frac{1}{5×7}= \frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$;
第4个等式:$a_4= \frac{1}{7×9}= \frac{1}{2}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})$;
…
请解答下列问题:
(1)按以上规律列出第5个等式:$a_5$= $\frac {1}{9×11}$= $\frac {1}{2}×(\frac {1}{9}-\frac {1}{11})$.
(2)用含n的代数式表示第n个等式:$a_n$= $\frac {1}{(2n-1)(2n+1)}$= $\frac {1}{2}×(\frac {1}{2n-1}-\frac {1}{2n+1})$(n为正整数).
(3)当$a_n= \frac{1}{143}$时,n的值为6.
(4)求$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+…+a_{100}$的值.
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+... +a_{100}=\frac {1}{2}×(1-\frac {1}{3})+\frac {1}{2}×(\frac {1}{3}-\frac {1}{5})+\frac {1}{2}×(\frac {1}{5}-\frac {1}{7})+\frac {1}{2}×(\frac {1}{7}-\frac {1}{9})+\frac {1}{2}×(\frac {1}{9}-\frac {1}{11})+... +\frac {1}{2}×(\frac {1}{199}-\frac {1}{201})=\frac {1}{2}×(1-\frac {1}{201})=\frac {100}{201}.$

答案： （1）$\frac {1}{9×11};\frac {1}{2}×(\frac {1}{9}-\frac {1}{11}).$
（2）$\frac {1}{(2n-1)(2n+1)};\frac {1}{2}×(\frac {1}{2n-1}-\frac {1}{2n+1}).$
（3）6. 解析:$a_{n}=\frac {1}{143}=\frac {1}{11×13}=\frac {1}{2}×(\frac {1}{11}-\frac {1}{13})$,所以$2n-1=11$.所以$n=6.$
（4）$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+... +a_{100}=\frac {1}{2}×(1-\frac {1}{3})+\frac {1}{2}×(\frac {1}{3}-\frac {1}{5})+\frac {1}{2}×(\frac {1}{5}-\frac {1}{7})+\frac {1}{2}×(\frac {1}{7}-\frac {1}{9})+\frac {1}{2}×(\frac {1}{9}-\frac {1}{11})+... +\frac {1}{2}×(\frac {1}{199}-\frac {1}{201})=\frac {1}{2}×(1-\frac {1}{201})=\frac {100}{201}.$

6. 将正整数按如图所示的规律排列,则数2022位于 (B)
A.第45行,第4列
B.第4行,第45列
C.第46行,第3列
D.第3行,第46列

答案： B 解析:观察题图可知,当n为奇数时,$n^{2}$位于第1行,第n列;当n为偶数时,$n^{2}$位于第n行,第1列.因为$45^{2}=2025$,所以数2025位于第1行,第45列.所以易知数2022位于第4行,第45列.