《2025年拔尖特训七年级数学上册浙教版》

典例4 已知a,b为常数,且三个单项式$5xy^{2}$,$axy^{b}$,$-3xy$的和仍然是单项式,则$a+b$的值是 (A)
A.-3或4
B.3或4
C.3
D.4
[变式]已知$2x^{6}y^{2}和-\frac{1}{3}x^{|3m|}y^{n}$是同类项,则$m-n= $ .

答案： A 解析:因为$5xy^{2}$和-3xy不是同类项,所以要使三个单项式的和仍然是单项式,只有$5xy^{2}$与$axy^{b}$的和为零或者-3xy与$axy^{b}$的和为零.所以a=-5,b=2或a=3,b=1.所以a+b=-5+2=-3或a+b=3+1=4.所以a+b的值是-3或4. [变式] 0 或 -4 解析:因为$2x^{6}y^{2}$和$-\frac{1}{3}x^{|3m|}y^{n}$是同类项,所以|3m|=6,n=2.所以m=2或m=-2.所以m-n=0或m-n=-4.

典例5 已知$A= 2a^{2}+3ab-2a-1$,$B= -a^{2}+ab-1$,求$4A-(3A-2B)$的值,其中a,b满足$|a+1|+(b-2)^{2}= 0$.
[变式](2023·金华兰溪期末)先化简,再求值：$2a^{2}b-[2ab^{2}-2(a^{2}b+2ab^{2})]$,其中$a= -\frac{1}{2}$,$b= 2$.

答案： $4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B=2a^{2}+3ab-2a-1+2(-a^{2}+ab-1)=2a^{2}+3ab-2a-1-2a^{2}+2ab-2=5ab-2a-3$.因为|a+1|与$(b-2)^{2}$都是非负数,且|a+1|+$(b-2)^{2}=0$,所以a+1=0,b=2=0.所以a=-1,b=2.当a=-1,b=2时,原式=5×(-1)×2-2×(-1)-3=-10+2-3=-11. [变式] 原式=$2a^{2}b-2ab^{2}+2a^{2}b+4ab^{2}=4a^{2}b+2ab^{2}$.当$a=-\frac{1}{2}$,b=2时,原式=$4×(-\frac{1}{2})^{2}×2+2×(-\frac{1}{2})×2^{2}=2-4=-2$.

典例6 某市要修建一条高速公路,其中的一段经过公开招标,由某路桥建设有限公司中标.在修建过程中,该公司为了保质保量提前完工,投入了甲、乙、丙三支工程队同时施工.经过一段时间,甲工程队修路a km,乙工程队所修的路比甲工程队的$\frac{2}{3}$多18 km,丙工程队所修的路比甲工程队的2倍少3 km.甲、乙、丙三支工程队共修路多少千米？若该段高速公路长1200 km,则当$a= 300$时,他们完成任务了吗？
甲、乙、丙三支工程队共修路$(\frac{11}{3}a+15)$千米；当$a=300$时，他们没有完成任务。
[变式]张大伯从报社以每份0.4元的价格购进了a份报纸,以每份0.5元的价格售出了b份($b\lt a$)报纸,剩余的报纸以每份0.2元的价格退回报社,则张大伯卖报的收入为$(0.3b-0.2a)$元.

答案： 由题意,得乙工程队修路$(\frac{2}{3}a+18)\text{km}$,丙工程队修路$(2a-3)\text{km}$.所以甲、乙、丙三支工程队共修路$a+(\frac{2}{3}a+18)+(2a-3)=(1+\frac{2}{3}+2)a+(18-3)=(\frac{11}{3}a+15)\text{km}$.当a=300时,$\frac{11}{3}a+15=\frac{11}{3}×300+15=1100+15=1115$.因为1115＜1200,所以当a=300时,他们没有完成任务. [变式] $(0.3b-0.2a)$ 解析:根据题意可知,张大伯购进报纸用了0.4a元,售出b份报纸得0.5b元,剩余的报纸退回得0.2(a-b)元,所以张大伯卖报的收入为$0.5b+0.2(a-b)-0.4a=(0.3b-0.2a)$元.