《2025年拔尖特训七年级数学上册浙教版》

1. 用一根长为 80 cm 的绳子围成一个长方形,且长方形的长比宽长 10 cm,则这个长方形的面积是(B)
$A. 300 cm^2$
$B. 375 cm^2$
$C. 400 cm^2$
$D. 625 cm^2$

答案： B 解析:设这个长方形的宽为x cm,则长为(x+10)cm.根据题意,得2(x+x+10)=80,解得x=15.所以这个长方形的长为15+10=25(cm).所以这个长方形的面积是25×15=375(cm²).

2. 某轧钢厂要把一种底面直径为 6 厘米、长为 1 米的圆柱形钢锭,轧制成长为 4.5 米、外径(外侧直径)为 3 厘米的无缝钢管. 若不计加工过程中的损耗,则这种无缝钢管的内径(内侧直径)为(C)
A.0.25 厘米
B.2 厘米
C.1 厘米
D.0.5 厘米

答案： C 解析:设这种无缝钢管的内径为x厘米.根据题意,得π×(6/2)²×100=π×(3/2)²×450-π×(x/2)²×450,易得x=1.所以这种无缝钢管的内径为1厘米.

3. 某环形绿化带的外圆半径为 6.5 m,内圆半径为 3.5 m,现有一块宽为 6 m 的长方形绿化带的面积与该环形绿化带的面积相同,则长方形绿化带的长为5πm(结果保留π).

答案： 5π 解析:设长方形绿化带的长为x m.根据题意,得6x=π×(6.5²-3.5²),解得x=5π.所以长方形绿化带的长为5π m.

4. 如图,小玲将正方形纸片剪去一个宽为 2 cm 的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为 3 cm 的长条. 如果两次剪下的长条面积正好相等,那么原正方形的边长为6cm.

答案： 6 解析:设原正方形的边长为x cm.由题意,得2x=3(x-2),解得x=6.所以原正方形的边长是6 cm.

5. 用一根底面直径为 10 cm 的圆柱形铁柱铸造 12 个直径为 10 cm 的铅球,则应截取多长的铁柱(球的体积公式：$V = \frac{4}{3}\pi r^3$)？

答案： 设应截取x cm长的铁柱.由题意,得π×(10/2)²x=12×4/3π×(10/2)³,解得x=80.所以应截取80 cm长的铁柱.

6. 如图,一个长方形的周长为 30 cm,若这个长方形的长减少 4 cm,宽增加 3 cm,就可以变成一个正方形,则这个长方形的长和宽分别为(D)
A.8 cm,7 cm
B.9 cm,6 cm
C.10 cm,5 cm
D.11 cm,4 cm

答案： D 解析:设这个长方形的长为x cm,则宽为(15-x)cm.根据题意,得x-4=(15-x)+3,解得x=11.所以15-x=15-11=4.所以这个长方形的长为11 cm,宽为4 cm.

7. 如图①,一个棱长为 10 cm 的正方体固定在一个长、宽、高分别为 20 cm,20 cm,30 cm 的长方体容器的底部,现将一个直径为 20 cm、高为 20 cm 的圆柱形容器(如图②)盛满水倒入长方体容器内,则此时长方体容器内水面的高度约为(不计损耗,容器壁的厚度忽略不计,π取 3)(B)
A.15 cm
B.17.5 cm
C.22.5 cm
D.30 cm

答案： B 解析:设此时长方体容器内水面的高度为x cm.由题意,易知长方体容器内水面的高度高于10 cm,所以可列方程为20×20×x-10×10×10=3×(20/2)²×20,解得x=17.5.所以此时长方体容器内水面的高度约为17.5 cm.

8. 某人需要输一瓶 100 mL 的药液(如图),通过观察发现,输液流量是 3 mL/min,输液 10 min 后,吊瓶空出部分的容积是 50 mL. 根据这些数据,可知整个吊瓶的容积是______mL.
120

答案： 120 解析:设整个吊瓶的容积是x mL.根据题意,得x-100+3×10=50,解得x=120.所以整个吊瓶的容积是120 mL.

9. 如图,有一块长为 5 cm、宽为 2 cm 的长方形纸板和一块长为 4 cm、宽为 1 cm 的长方形纸板,将这两块纸板与一块正方形纸板及另两块长方形纸板拼成一个大正方形,则大正方形的面积为$36cm^2.$

答案： 36 解析:设小正方形的边长为x cm,则大正方形的边长为[4+(5-x)]cm或(x+1+2)cm.所以4+(5-x)=x+1+2,解得x=3.所以大正方形的边长为3+1+2=6(cm).所以大正方形的面积为6×6=36(cm²).