《2025年拔尖特训七年级数学上册浙教版》

12. 计算:
(1)(2024·舟山期末)$2^2÷\sqrt{\frac{4}{9}}×(\sqrt[3]{\frac{1}{27}})^2$.
(2)$|7-\sqrt{2}|-|\sqrt{2}-\pi|-\sqrt{(-7)^2}$.

答案： （1）原式$=4÷\frac{2}{3}×\left(1-\frac{1}{3}\right)^2=4×\frac{3}{2}×\frac{4}{9}=\frac{8}{3}$.（2）原式$=7-\sqrt{2}-\pi+\sqrt{2}-7=-\pi$.

13. 座钟的摆针摆动一个来回所需要的时间为一个周期,其计算公式为$T= 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$,其中T表示周期(单位:s),l表示摆长(单位：m),$g\approx10m/s^2$.若某座钟的摆长为0.27m,它每摆动一个来回发出一次滴答声,则1 min内,该座钟约发出多少次滴答声(参考数据：$\pi\approx3.14$,$\sqrt{\frac{0.27}{10}}\approx0.164$,结果保留整数)?

答案： 因为$l=0.27\,\text{m}$，$g\approx10\,\text{m/s}^2$，所以$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\approx2×3.14×\sqrt{\frac{0.27}{10}}\approx2×3.14×0.164\approx1.03(\text{s})$，即每摆动一个来回约需要1.03 s.因为1 min=60 s，所以1 min内，该座钟的摆针可以来回摆动$60÷1.03\approx58$（次）.所以1 min内，该座钟约发出58次滴答声.

14. 如图所示的图形是由半圆和长方形组成的,则这个图形的面积约为54.8(π取3.14,结果精确到$0.1dm^2$).

答案： $54.8\,\text{dm}^2$ 解析：$S=S_{\text{长方形}}+S_{\text{半圆}}=\sqrt{48}×\sqrt{27}+\frac{1}{2}\pi×(\sqrt{48}÷2)^2\approx54.8(\text{dm}^2)$.

15. (1)利用计算器计算(结果精确到0.01)：
① $\sqrt{2}×\sqrt{3}与\sqrt{2×3}$.
② $\sqrt{\frac{5}{3}}×\sqrt{7}与\sqrt{\frac{5}{3}×7}$.
(2)已知$a\geq0$,$b\geq0$,观察(1)中的计算结果,由此你能得出$\sqrt{a}×\sqrt{b}与\sqrt{a× b}$之间的关系吗？写出你的发现,并利用你发现的规律计算：
① $\sqrt{2}×\sqrt{8}$.
② $\sqrt{5}×\sqrt{\frac{49}{5}}$.

答案： （1）①$\sqrt{2}×\sqrt{3}\approx2.45$，$\sqrt{2×3}\approx2.45$.②$\sqrt{\frac{5}{3}}×\sqrt{7}\approx3.42$，$\sqrt{\frac{5}{3}×7}\approx3.42$.（2）能.$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{a× b}$.①$\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$.②$\sqrt{5}×\sqrt{\frac{49}{5}}=\sqrt{5×\frac{49}{5}}=\sqrt{49}=7$.