《2025年拔尖特训七年级数学上册浙教版》

11. 观察下列等式：$3^{1}= 3$,$3^{2}= 9$,$3^{3}= 27$,$3^{4}= 81$,$3^{5}= 243$,$3^{6}= 729$,……根据你发现的规律,推测$3^{2025}$的个位数字是3.

答案： 3 解析:由3¹=3,3²=9,3³=27,3⁴=81,3⁵=243,3⁶=729,…,可得个位数字以3,9,7,1为一组循环.因为2025÷4=506……1,所以3²⁰²⁵的个位数字与3¹的个位数字相同,是3.

12. 新考法·操作实践 将一张长方形的纸按如图所示的方式对折,对折时每次的折痕与上次的折痕保持平行,第一次对折后可得到1条折痕(图中虚线),第二次对折后可得到3条折痕,第三次对折后可得到7条折痕……第七次对折后可得到的折痕共有127条.

答案： 127 解析:因为第一次对折后可得到的折痕条数为1=2¹-1,第二次对折后可得到的折痕条数为3=2²-1,第三次对折后可得到的折痕条数为7=2³-1……所以第七次对折后可得到的折痕条数为2⁷-1=128-1=127.

13. 计算：
(1)$-(-3)^{4}÷(-27)$.
(2)$(-3)^{2}×2-5×(-2)^{3}$.
(3)$(-1)^{2025}×(-3)^{2}×(-\frac {1}{2})^{3}$.

答案：
(1)-(-3)⁴÷(-27)=-81÷(-27)=3.
(2)(-3)²×2-5×(-2)³=9×2-5×(-8)=18+40=58.
(3)(-1)²⁰²⁵×(-3)²×$(-\frac{1}{2})^3$=-1×9×$(-\frac{1}{8})=\frac{9}{8}$.

14. 某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按此规律,求5小时后存活的细胞个数.

答案： 根据题意可知,1小时后分裂成4个并死去1个,剩3个,3=2¹+1;2小时后分裂成6个并死去1个,剩5个,5=2²+1;3小时后分裂成10个并死去1个,剩9个,9=2³+1;由此可发现,5小时后存活的细胞个数是2⁵+1=33.

15. 拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再捏合、拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多根细的面条(如图).第一次捏合后,可以拉出2根面条；第二次捏合后,可以拉出4根面条；第三次捏合后,可以拉出8根面条；第四次捏合后,可以拉出16根面条；第五次捏合后,可以拉出32根面条……根据以上规律,你知道第几次捏合后,可以拉出128根面条？

因为2⁷=128,所以第七次捏合后,可以拉出128根面条.

答案： 16;32.因为2⁷=128,所以第七次捏合后,可以拉出128根面条.

16. (1)观察下列两组式子：$(3×5)^{2}与3^{2}×5^{2}$,$[(-\frac {1}{2})×4]^{2}与(-\frac {1}{2})^{2}×4^{2}$,每组的两个算式的计算结果是否相等？
(2)想一想,$(ab)^{3}$等于什么？猜一猜,当$n$为正整数时,$(ab)^{n}$等于什么？你能用一句话叙述你所得到的结论吗？
(3)运用上述结论计算：$(-0.125)^{2025}×(-8)^{2025}$.

答案：
(1)(3×5)²=15²=225,3²×5²=9×25=225;$[(-\frac{1}{2})×4]^2=(-2)^2=4$,$(-\frac{1}{2})^2×4^2=\frac{1}{4}×16=4$.每组的两个算式的计算结果相等.
(2)(ab)³=a³b³. (ab)ⁿ=aⁿbⁿ(n为正整数).结论:积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
(3)(-0.125)²⁰²⁵×(-8)²⁰²⁵=[(-0.125)×(-8)]²⁰²⁵=1²⁰²⁵=1.