《2025年拔尖特训七年级数学上册浙教版》

11. 如图,线段AB= 36,在线段AB上有C,D,M,N四点,点N在点D的右侧,且AC∶CD∶DB= 1∶2∶3,AC= 2AM,DB= 6DN,求线段MN的长.

答案： 因为AC:CD:DB=1:2:3,AB=36,所以AC=6,CD=12,DB=18.因为AC=2AM,所以AM=3.所以CM=AC−AM=6−3=3.因为DB=6DN,所以DN=3.所以MN=CM+CD+DN=3+12+3=18.

12. *(1)如图,点C在线段AB上,AC= 8,BC= 6,M,N分别是AC,BC的中点,求MN的长.
(2)根据(1)中的计算过程与结果,设AC+BC= a,其他条件不变,请直接写出MN的长.
(3)若把(1)中的“点C在线段AB上”改为“点C在线段AB的延长线上”,且满足AC-BC= b,你能猜想出MN的长吗? 请写出你的结论,并说明理由.

答案：
(1)因为M,N分别是AC,BC 的中点,所以MC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4,NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3.所以MN=MC+NC=4+3=7.
(2)MN=$\frac{1}{2}$a.
(3)能.MN=$\frac{1}{2}$b.理由:因为M,N分别是AC,BC的中点,所以MC=$\frac{1}{2}$AC,NC=$\frac{1}{2}$BC.所以MN=MC - NC=$\frac{1}{2}$AC−$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$(AC−BC)=$\frac{1}{2}$b.方法归纳：解决与线段中点有关问题的一般方法是运用线段中点的概念,将图形中的“形”的特征转化为“数”的关系,并运用图形中线段之间的数量关系,将待求的线段长逐步转化为已知线段的长的和差,从而使问题得以解决.

13. 如图,在直线AB上,线段AB= 24,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动.M为AP的中点,N为BP的中点,设点P的运动时间为t秒.

(1)若点P在线段AB上运动,则当PM= 10时,PN= 2.
(2)若点P在射线AB上运动,当PM= 2PN时,求t的值.
根据题意,得AP=2t.①当点P在线段AB上,且PM=2PN时,因为PM=AM=$\frac{1}{2}$AP=t,PN=BN=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$(AB−AP)=12−t,所以t=2(12−t),所以t=8.②当点P在线段AB的延长线上，且PM=2PN时,因为PM=AM=$\frac{1}{2}$AP=t,PN=BN=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$(AP−AB)=t−12,所以t=2(t−12),所以t=24.综上所述,当PM=2PN时,t的值为8或24.
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时,线段AB,PM,PN有怎样的数量关系? 请写出结论,并说明理由.
当点P在线段AB的反向延长线上运动时,PN−PM=$\frac{1}{2}$AB.理由:因为PM=AM=$\frac{1}{2}$AP,PN=BN=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$(AP+AB)=$\frac{1}{2}$AP+$\frac{1}{2}$AB,所以PN−PM=$\frac{1}{2}$AP+$\frac{1}{2}$AB−$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$AB.

答案：
(1)2　解析:因为PM=10,M为AP的中点，所以AP=2PM=20.所以BP=AB−AP=4.因为N为BP的中点,所以PN=$\frac{1}{2}$BP=2.
(2)根据题意,得AP=2t.①当点P在线段AB上,且PM=2PN时,因为PM=AM=$\frac{1}{2}$AP=t,PN=BN=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$(AB−AP)=12−t,所以t=2(12−t),所以t=8.②当点P在线段AB的延长线上，且PM=2PN时,因为PM=AM=$\frac{1}{2}$AP=t,PN=BN=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$(AP−AB)=t−12,所以t=2(t−12),所以t=24.综上所述,当PM=2PN时,t的值为8或24.
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时,PN−PM=$\frac{1}{2}$AB.理由:因为PM=AM=$\frac{1}{2}$AP,PN=BN=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$(AP+AB)=$\frac{1}{2}$AP+$\frac{1}{2}$AB,所以PN−PM=$\frac{1}{2}$AP+$\frac{1}{2}$AB−$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$AB.