《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

指数函数$y = a^{x}(a ＞ 0$,且$a \neq 1)$的定义域为R，值域为$(0, + \infty)$.

答案： 知识点2
R

[例2] 求下列函数的定义域与值域.
(1)$y = 10^{\frac{1}{x - 1}}$； (2)$y = \left( \frac{2}{3} \right)^{- |x|}$.
[分析] (1)由$x - 1 \neq 0$求出函数定义域，求值域时注意$\frac{1}{x - 1} \neq 0$.
(2)$y = \left( \frac{2}{3} \right)^{- |x|}$转化为$y = \left( \frac{3}{2} \right)^{|x|}$.

答案： [例2] [解]
(1)要使函数有意义,则$x - 1\neq0$,即$x\neq1$.所以函数$y = 10^{\frac{1}{x - 1}}$的定义域为$\{x|x\neq1\}$.因为$\frac{1}{x - 1}\neq0$,所以$10^{\frac{1}{x - 1}}\neq1$.又$10^{\frac{1}{x - 1}}＞0$,所以函数$y = 10^{\frac{1}{x - 1}}$的值域为$\{y|y＞0$,且$y\neq1\}$.
(2)定义域为$x\in\mathbf{R}$.因为$|x|\geqslant0$,所以$y = (\frac{2}{3})^{-|x|}=(\frac{3}{2})^{|x|}\geqslant(\frac{3}{2})^{0}=1$.故$y = (\frac{2}{3})^{-|x|}$的值域为$\{y|y\geqslant1\}$.
[变条件] 解：由$\frac{x + 1}{x - 1}\geqslant0$,得$x\leqslant - 1$,或$x＞1$,所以$y = 10^{\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}}$的定义域为$(-\infty,-1]\cup(1,+\infty)$.
令$u=\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}$,则$u\geqslant0$,且$u\neq1$,所以$10^{u}\geqslant10^{0}=1$,且$10^{u}\neq10$,即$y\geqslant1$,且$y\neq10$.故$y = 10^{\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}}$的值域为$[1,10)\cup(10,+\infty)$.

2. 求下列函数的定义域和值域：
(1)$y = 2^{\sqrt{x - 2}}$；
(2)$y = 2^{- x^{2}}$.

答案： 跟踪训练 2.解：
(1)因为$x - 2\geqslant0$,所以$x\geqslant2$,令$u=\sqrt{x - 2}\geqslant0$,$y = 2^{u}$在$[0,+\infty)$上单调递增,所以$y\geqslant2^{0}=1$,所以函数$y = 2^{\sqrt{x - 2}}$的定义域为$[2,+\infty)$,值域为$[1,+\infty)$.
(2)该函数的定义域为$\mathbf{R}$,令$t=-x^{2}\leqslant0$,又$y = 2^{t}$在其定义域上是增函数,所以$y\leqslant2^{0}=1$,所以函数$y = 2^{-x^{2}}$的定义域为$\mathbf{R}$,值域为$(0,1]$.

3. 已知$- 1 \leqslant x \leqslant 2$，求函数$y = f(x) = 3 + 2 × 3^{x + 1} - 9^{x}$的值域.

答案： 跟踪训练 3.解：$f(x)=3 + 2×3^{x + 1}-9^{x}=-(3^{x})^{2}+6×3^{x}+3$.令$3^{x}=t$,则$y=-t^{2}+6t + 3=-(t - 3)^{2}+12$.因为$-1\leqslant x\leqslant2$,所以$\frac{1}{3}\leqslant t\leqslant9$.由于当$t = 3$,即$x = 1$时,$y$取得最大值$12$;当$t = 9$,即$x = 2$时,$y$取得最小值$-24$,即$f(x)$的最大值为$12$,最小值为$-24$.故所求函数$f(x)$的值域为$[-24,12]$.