《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.一般步骤如图：

任意负角的三角函数$\begin{matrix} \longrightarrow \\ 用公式一或三 \end{matrix}$ ______ $\begin{matrix} \longrightarrow \\ 用公式一 \end{matrix}$ ______
$0$到$2\pi$的角的三角函数$\begin{matrix} \longrightarrow \\ 用公式二或四 \end{matrix}$ ______

答案： 任意正角的三角函数 锐角的三角函数

[例2] 求下列三角函数值：
(1)$\sin( - 1\ 200^{\circ}) =$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(2)$\tan945^{\circ} =$1；
(3)$\cos\frac{119\pi}{6} =$$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(4)$\sin\frac{5\pi}{6} + \tan\frac{7\pi}{4} - \cos( - \frac{2\pi}{3}) =$0.
[分析] 利用诱导公式，我们将“负角变正角”“大角变小角”，直到将所求角的三角函数转化为锐角的三角函数，再求值.

答案： [答案]
(1)$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
(2)1
(3)$\frac{\sqrt{3}}{2}$
(4)0
[解析]
(1)$\sin(-1200°)=-\sin1200°$,
$=-\sin(3×360°+120°)$
$=-\sin120°=-\sin(180°-60°)=-\sin60°$
$=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(2)$\tan945°=\tan(2×360°+225°)=\tan225°$
$=\tan(180°+45°)=\tan45°=1$.
(3)$\cos\frac{119\pi}{6}=\cos(20\pi-\frac{\pi}{6})=$
$\cos(-\frac{\pi}{6})=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(4)原式$=\sin(\pi-\frac{\pi}{6})+\tan(2\pi-\frac{\pi}{4})-\cos\frac{2\pi}{3}$
$=\sin\frac{\pi}{6}+\tan(-\frac{\pi}{4})-\cos(\pi-\frac{\pi}{3})$
$=\sin\frac{\pi}{6}-\tan\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}$
$=0$.

2. 求下列三角函数值：
(1)$\cos( - 480^{\circ}) + \sin210^{\circ}$；
(2)$\sin( - \frac{8\pi}{3}) · \cos\frac{23\pi}{6} · \tan\frac{37\pi}{6}$.

答案： 解：
(1)原式$=\cos480°+\sin(180°+30°)$
$=\cos(360°+120°)-\sin30°$
$=\cos120°-\frac{1}{2}$
$=\cos(180°-60°)-\frac{1}{2}$
$=-\cos60°-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1$.
(2)原式$=\sin(-4\pi+\frac{4\pi}{3})·\cos(4\pi-\frac{\pi}{6})·\tan(6\pi+\frac{\pi}{6})$
$=\sin\frac{4\pi}{3}·\cos(-\frac{\pi}{6})·\tan\frac{\pi}{6}$
$=\sin(\pi+\frac{\pi}{3})·\cos\frac{\pi}{6}·\tan\frac{\pi}{6}$
$=-\sin\frac{\pi}{3}·\cos\frac{\pi}{6}·\tan\frac{\pi}{6}$
$=-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{4}$.

[例3] (1)已知$\tan\alpha = \frac{2}{3}$，求$\frac{\cos( - \alpha) + 3\sin(\pi + \alpha)}{\cos(\pi - \alpha) + 9\sin\alpha}$的值；
(2)已知$\sin(\pi + \alpha) = \frac{1}{2}$，$\alpha \in ( - \frac{\pi}{2},0)$，求$\tan(\pi - \alpha)$的值.
[分析] (1)将所求三角函数式进行化简转化为齐次式，再利用弦化切进行求值.
(2)利用诱导公式求出$\sin\alpha$，再利用诱导公式及同角三角函数的关系式求值.

答案： [解]
(1)因为$\tan\alpha=\frac{2}{3}$,
所以$\frac{\cos(-\alpha)+3\sin(\pi+\alpha)}{\cos(\pi-\alpha)+9\sin\alpha}=$
$\frac{\cos\alpha-3\sin\alpha}{-\cos\alpha+9\sin\alpha}=\frac{1-3\tan\alpha}{9\tan\alpha-1}=\frac{1-3×\frac{2}{3}}{9×\frac{2}{3}-1}$
$=-\frac{1}{5}$.
(2)因为$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$,
根据条件得$\sin\alpha=-\frac{1}{2}$,
又$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},0)$,
所以$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$,
所以$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

[例4] 已知$\cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\cos(\alpha + \frac{5\pi}{6}) =$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
[分析] 观察$\frac{\pi}{6} - \alpha,\alpha + \frac{5\pi}{6}$两个角的关系，再利用诱导公式进行转化.
[变设问] 若本例中的条件不变，如何求$\cos(\alpha - \frac{13\pi}{6})$？如何求$\cos(\frac{5\pi}{6} + \alpha) - \sin^{2}(\alpha - \frac{\pi}{6})$的值？

答案： [答案] $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
[解析] $\cos(\alpha+\frac{5\pi}{6})$
$=\cos[\pi-(\frac{\pi}{6}-\alpha)]$
$=-\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
[变设问] 解:$\cos(\alpha-\frac{13\pi}{6})=\cos(\frac{13\pi}{6}-\alpha)$
$=\cos[2\pi+(\frac{\pi}{6}-\alpha)]$
$=\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
因为$\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)=\cos[\pi-(\frac{\pi}{6}-\alpha)]$
$=-\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\sin^{2}(\alpha-\frac{\pi}{6})=\sin^{2}[-(\frac{\pi}{6}-\alpha)]$
$=1-\cos^{2}(\frac{\pi}{6}-\alpha)$
$=1-(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{2}{3}$,
所以$\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)-\sin^{2}(\alpha-\frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{2+\sqrt{3}}{3}$.