《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

应用正弦函数、余弦函数图象解简单的三角不等式等问题时，画出对应的图象，根据图象得出结论.

答案： 正弦函数或余弦函数

[例 4] 不等式$2\sin x - 1 \geqslant 0$，$x \in [0,2\pi]$的解集为( )
A.$\left[0,\frac{\pi}{6}\right]$
B.$\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$
C.$\left[\frac{\pi}{6},\pi\right]$
D.$\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$
[分析] 利用五点作图法先画出$y = \sin x$，$x \in [0,2\pi]$以及直线$y = \frac{1}{2}$的图象，然后利用图象解决问题.
[变条件] 在本例中把“$x \in [0,2\pi]$”改为“$x \in \mathbf{R}$”，求不等式$2\sin x - 1 \geqslant 0$的解集.

答案：
[例4] [答案] D
[解析] 因为 $2\sin x - 1 \geq 0$，所以 $\sin x \geq \frac{1}{2}$.
在同一平面直角坐标系下，作出函数 $y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$ 以及直线 $y = \frac{1}{2}$ 的图象，如图，

由函数的图象知，$\sin \frac{\pi}{6} = \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$，
所以根据图象可知，$\sin x \geq \frac{1}{2}$ 的解集为 $\left[ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right]$.
[变条件] 解：在 $x \in [0, 2\pi]$ 上的解集为 $\left[ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right]$，
所以当 $x \in R$ 时，不等式的解集为 $\left\{ x \mid \frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in Z \right\}$.

[例 5] 在区间$[0,2\pi]$上，函数$y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} \sin x}$的定义域是$(0, \pi)$.
[分析] 利用函数定义域的含义，将定义域问题转化为解三角不等式问题.

答案：
[例5] [答案] $(0, \pi)$
[解析] 由 $\log_{\frac{1}{2}} \sin x \geq 0$ 知，$0 ＜ \sin x \leq 1$，
作出 $y = \sin x$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的简图，由正弦函数图象知，$0 ＜ x ＜ \pi$.

在区间 $[0, 2\pi]$ 上，函数 $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} \sin x}$ 的定义域是 $(0, \pi)$.

4. (1)不等式$\sin x ＜ -\frac{1}{2}$，$x \in [0,2\pi]$的解集为$\left( \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right)$；
(2)在区间$[0,2\pi]$上，函数$y = \lg(\sqrt{2} - 2\cos x)$的定义域是$\left( \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right)$.

答案：
跟踪训练 4. 答案：
(1)$\left( \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right)$
(2)$\left( \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right)$
解析：
(1)作出函数 $y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象及直线 $y = -\frac{1}{2}$，如图所示，由图象易知不等式 $\sin x ＜ -\frac{1}{2}$ 的解集为 $\left( \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right)$.

(2)由 $\sqrt{2} - 2\cos x ＞ 0$ 得 $\cos x ＜ \frac{\sqrt{2}}{2}$，
作出 $y = \cos x$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的图象和直线 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$，

由图象得，$\frac{\pi}{4} ＜ x ＜ \frac{7\pi}{4}$.
在区间 $[0, 2\pi]$ 上，函数 $y = \lg (\sqrt{2} - 2\cos x)$ 的定义域是 $\left( \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right)$.

1. 用“五点(画图)法”画函数$y = 2 - 3\sin x$的图象时，首先应描出的五点的横坐标是(B)

A.$0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4},\pi$
B.$0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$
C.$\pi,2\pi,3\pi,4\pi$
D.$0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}$

答案： 1.B 所描出的五点的横坐标与函数 $y = \sin x$ 的五点的横坐标相同，即 $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$.

2. 观察正弦函数$y = \sin x$，$x \in \mathbf{R}$的图象，下列说法错误的是(D)

A.过原点
B.与$y = \cos x$的图象形状相同，只是位置不同
C.与$x$轴有无数个交点
D.关于$y$轴对称

答案： 2.D 观察题图可得，正弦函数 $y = \sin x, x \in R$ 的图象不关于 $y$ 轴对称.

3. 已知余弦函数的图象过点$(-\frac{\pi}{6},m)$，则$m$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 3.答案：$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析：设余弦函数为 $y = \cos x$，
由函数过点 $\left( -\frac{\pi}{6}, m \right)$，可得 $m = \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. 在区间$[0,2\pi]$上，函数$y = \sqrt{2\sin x - \sqrt{2}}$的定义域是$\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right]$.

答案：
4.答案：$\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right]$
解析：依题意得 $2\sin x - \sqrt{2} \geq 0$，即 $\sin x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$. 作出 $y = \sin x$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的图象及直线 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$，如图所示. 由图象可知，满足 $\sin x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的 $x$ 的取值范围是 $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right]$.