《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例$3$] $(1)$已知$f(x)=\frac{1}{x + 1}(x\neq -1), g(x)=x^{2} + 2$,则$f(2)=$$\frac{1}{3}$$, g(f(2))=$$\frac{19}{9}$;
$(2)$已知$f(x)=x - 6$,若$f(a)=1$,则$f(a^{2})=$$43$.
[分析] $(1)$代入求值.对于$g(f(2))$一般先求出$f(2)$.
$(2)$代入构造方程,求出$a$,再代入求出$f(a^{2})$.

答案： [例3] [答案]
(1)$\frac{1}{3}$ $\frac{19}{9}$
(2)$43$
[解析]
(1)$f(2)=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$,$g(f(2))=$ $g(\frac{1}{3})=(\frac{1}{3})^{2}+2=\frac{19}{9}$.
(2)若$f(a)=a-6=1$,则$a=7$,
$\therefore f(a^{2})=f(49)=49-6=43$.

$3$.已知$f(x)=\frac{1}{x^{2} + 2}, g(x)=x^{2} + 1, x\in \mathbf{R}$.
$(1)$求$f(2), g(2)$的值;
$(2)$求$f(g(3))$的值.

答案： 跟踪训练 3.解：
(1)$f(2)=\frac{1}{4+2}=\frac{1}{6}$,$g(2)$ $=2^{2}+1=5$.
(2)$f(g(33))=f(3^{2}+1)=f(10)=\frac{1}{100+2}$ $=\frac{1}{102}$.

由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:___________、_______和___________,因为值域是由___________和___________决定的,所以,如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.

答案： 定义域、对应关系和值域；定义域；对应关系

[例$4$] (多选)下列各组函数是同一个函数的是 ( )
A.$f(x)=x^{2} - 2x - 1$与$g(s)=s^{2} - 2s - 1$
B.$f(x)=\sqrt{-x^{3}}$与$g(x)=x\sqrt{-x}$
C.$f(x)=\frac{x}{x}$与$g(x)=\frac{1}{x^{0}}$
D.$f(x)=x$与$g(x)=\sqrt{x^{2}}$

答案：

[答案] AC

[解析] A中两函数定义域相同,对应关系

相同,所以是同一个函数;B中两函数对应

关系不同;C中两函数的定义域、对应关

系相同,所以是同一个函数;D中两函数对应

关系不同.

$4$.$(1)$下列各函数中,与$y = 2x - 1$是同一个函数的是③.
①$y=\frac{4x^{2} - 1}{2x + 1}$;②$y = 2x - 1(x＞0)$;③$u = 2v - 1$;
④$y=\sqrt{(2x - 1)^{2}}$.
$(2)$下列四组函数中,表示同一个函数的是④.
①$f(x)=\frac{x^{2} - x}{x}, g(x)=x - 1$;
②$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}, g(x)=\frac{x}{\sqrt{x}}$;
③$f(x)=x^{2}, g(x)=(x + 1)^{2}$;
④$f(x)=\mid x\mid, g(x)=\sqrt{x^{2}}$.

答案： 跟踪训练 4.答案：
(1)③
(2)④
解析：
(1)函数$y=2x-1$的定义域、值域都
是$\mathbf{R}$,其中$f:x\to2x-1$.①中函数定义域为
$\{x|x\in\mathbf{R且}x\neq-\frac{1}{2}\}$,与$y=2x-1$不是
同一个函数;②中函数定义域为$\{x|x＞0\}$,
与$y=2x-1$不是同一个函数;③中函数定
义域是$\mathbf{R}$,值域是$\mathbf{R}$,对应关系相同,与$y=$ $2x-1$是同一个函数;④$y=\sqrt{(2x-1)^{2}}=$ $|2x-1|=\begin{cases}2x-1,x\geq\frac{1}{2},\\1-2x,x＜\frac{1}{2},\end{cases}$与$y=2x-1$的
对应关系是不同的,不是同一个函数.
(2)
序号 是否相同 原因
① 不同 定义域不同,$f(x)=\frac{x^{2}-x}{x}$的定义域为$\{x|x\neq0\}$,$g(x)=x-1$的定义域为$\mathbf{R}$
② 不同 对应关系不同,$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$,$g(x)=\sqrt{x}$
③ 不同 定义域相同,对应关系不同
④ 相同 定义域和对应关系均相同