《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 已知正实数$ x, y $满足$ 2x + y = xy $，则$ xy $的最小
值为（$$）

A.$ 2\sqrt{2} $
B.$ 4 $
C.$ 4\sqrt{2} $
D.$ 8 $

答案： 1.D
∵$ 2x + y=xy,x＞0,y＞0 $，
∴$ 2x + y\geqslant2\sqrt{2xy} $，即$ xy\geqslant2\sqrt{2xy} $，
∴$ xy\geqslant $
$ 8 $，当且仅当$ 2x=y $，即$ x=2,y=4 $时等号成
立，则$ xy $的最小值为8.

2. 设$ x＞0 $，则函数$ y = \frac{x^2 + x + 25}{x} $的最小值为（$$）

A.$ 6 $
B.$ 7 $
C.$ 10 $
D.$ 11 $

答案： 2.D
∵$ x＞0 $，
∴$ y=\frac{x^2 + x + 25}{x}=x+\frac{25}{x}+1 $
$ \geqslant2\sqrt{x·\frac{25}{x}}+1=11 $，
当且仅当$ x=\frac{25}{x} $，即$ x=5 $时，等号成立，
所以函数$ y=\frac{x^2 + x + 25}{x} $的最小值为11.

3. 当$ x＞1 $时，不等式$ x + \frac{1}{x - 1} \geq a $恒成立，则实数
$ a $的取值范围是（$$）

A.$ (-\infty, 2] $
B.$ [2, +\infty) $
C.$ [3, +\infty) $
D.$ (-\infty, 3] $

答案： 3.D 当$ x＞1 $时，$ x - 1＞0 $，故$ x+\frac{1}{x - 1}=(x $
$ -1)+\frac{1}{x - 1}+1\geqslant2\sqrt{(x - 1)(\frac{1}{x - 1})}+1 $
$ =3 $，当且仅当$ x - 1=\frac{1}{x - 1} $，即$ x=2 $时等号
成立，
所以不等式$ x+\frac{1}{x - 1}\geqslant a $恒成立，故$ a\leqslant $
$ (x+\frac{1}{x - 1})_{\min} $，故$ a\leqslant3 $.

4. 已知$ a＞0, b＞0 $，且$ a + 3b = 2 $，则$ \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{3b} $的最
小值为$ \frac{4}{3} $.

答案： 4. 答案:$ \frac{4}{3} $
解析:因为$ a＞0,b＞0 $，且$ a + 3b=2 $，所以$ a $
$ +1 + 3b=3 $，
所以$ \frac{1}{a + 1}+\frac{1}{3b}=\frac{1}{3}(\frac{1}{a + 1}+\frac{1}{3b})[(a + 1) $
$ +3b] $
$ =\frac{1}{3}(2+\frac{3b}{a + 1}+\frac{a + 1}{3b})\geqslant\frac{1}{3}(2+ $
$ 2\sqrt{\frac{3b}{a + 1}·\frac{a + 1}{3b}})=\frac{4}{3} $，
当且仅当$ \frac{3b}{a + 1}=\frac{a + 1}{3b} $，即$ a=b=\frac{1}{2} $时取
等号，
所以$ \frac{1}{a + 1}+\frac{1}{3b} $的最小值为$ \frac{4}{3} $.

答案： 未知数；2

[例 1]
下列选项中是一元二次不等式的有(C)

A.$ax^{2}+2x+1＞0$
B.$x^{2}-y＞0$
C.$-x^{2}-3x＜0$
D.$\frac{x}{x^{2}-3}＞0$

答案： [例1] [答案] C
[解析] 由一元二次不等式定义可知，只有$-x^{2}-3x＜0$是一元二次不等式，其他都不是.

1. $a^{2}b+2ab^{2}+9＞0(ab≠0)$可看作一元二次不等式吗？若可以，请写出对应一元二次不等式.

答案： 跟踪训练1.解：可以.把$b$看作常数，则是关于$a$的一元二次不等式，其形式为：$ba^{2}+2b^{2}a+9＞0$；把$a$看作常数，则是关于$b$的一元二次不等式，其形式为：$2ab^{2}+a^{2}b+9＞0$.