《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

3. 解下列不等式：
(1)$(x-3)(x+2)＜0$；(2)$-2x^{2}+x-6＜0$；(3)$-x^{2}+6x-9\geqslant0$.

答案： 跟踪训练3.解：
(1)$(x - 3)(x + 2)＜0\Leftrightarrow -2＜x＜3$，
$\therefore$原不等式的解集为$\{x\mid -2＜x＜3\}$.
(2)不等式化为$2x^{2}-x + 6＞0$.
$\because\Delta=1 - 48=-47＜0$，
$\therefore$方程$2x^{2}-x + 6=0$无实数根.
由二次函数$y=2x^{2}-x + 6$图象得不等式解集为$ R$.
(3)不等式化为$x^{2}-6x + 9\leq0$，
方程$x^{2}-6x + 9=0$的实数根是3.
由二次函数$y=x^{2}-6x + 9$图象得不等式解集为$\{3\}$.

[例 4]
当$a\geqslant0$时，解关于$x$的不等式：$ax^{2}-(a+1)x+1＜0$.
[分析]
不等式中$x^{2}$的系数含有参数$a$，首先要讨论$a$是否为 0；当$a≠0$时还要讨论方程的两根的大小.
[变条件]
若把本例中的“$a\geqslant0$”改为“$a＜0$”，求该不等式的解集.

答案： [例4] [解] ①当$a = 0$时，不等式化为$-x + 1＜0$，得不等式解集为$\{x\mid x＞1\}$；
②当$a\neq0$时，方程$ax^{2}-(a + 1)x + 1=0$的实数根为$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{a}$.
当$a＞0$，若$\frac{1}{a}＜1$，即$a＞1$时，由二次函数$y=ax^{2}-(a + 1)x + 1$的图象得不等式解集为$\{x\mid\frac{1}{a}＜x＜1\}$.
若$\frac{1}{a}=1$，即$a = 1$时，由函数图象得不等式解集为$\varnothing$.
若$\frac{1}{a}＞1$，即$0＜a＜1$时，由函数图象得不等式解集为$\{x\mid1＜x＜\frac{1}{a}\}$.
综上，当$a = 0$时，不等式解集为$\{x\mid x＞1\}$；
当$0＜a＜1$时，不等式解集为$\{x\mid1＜x＜\frac{1}{a}\}$；
当$a = 1$时，不等式解集为$\varnothing$；
当$a＞1$时，不等式解集为$\{x\mid\frac{1}{a}＜x＜1\}$.
[变条件] 解：原不等式可化为$(ax - 1)(x - 1)＜0$.
又$a＜0$，得$(x-\frac{1}{a})(x - 1)＞0$，
当$a＜0$，$\frac{1}{a}＜0＜1$.
由函数图象，得不等式解集为$\{x\mid x＜\frac{1}{a}$或$x＞1\}$.

4. (1)设$a∈R$，解关于$x$的不等式$ax^{2}+(1-2a)x-2＞0$.
(2)解关于$x$的不等式$2x^{2}+ax+2＞0$.

答案： 跟踪训练4.解：
(1)①当$a = 0$时，不等式可化为$x - 2＞0$，解得$x＞2$，即原不等式的解集为$\{x\mid x＞2\}$.
②当$a\neq0$时，方程$ax^{2}+(1 - 2a)x - 2=0$的两根分别为2和$-\frac{1}{a}$.
a.当$a＜-\frac{1}{2}$时，解不等式得$-\frac{1}{a}＜x＜2$，
即原不等式的解集为$\{x\mid-\frac{1}{a}＜x＜2\}$；
b.当$a=-\frac{1}{2}$时，不等式无解，
即原不等式的解集为$\varnothing$；
c.当$-\frac{1}{2}＜a＜0$时，
解不等式得$2＜x＜-\frac{1}{a}$，
即原不等式的解集为$\{x\mid2＜x＜-\frac{1}{a}\}$；
d.当$a＞0$时，解不等式得$x＜-\frac{1}{a}$或$x＞2$，
即原不等式的解集为$\{x\mid x＜-\frac{1}{a}$，或$x＞2\}$.
综上，当$a = 0$时，原不等式的解集为$\{x\mid x＞2\}$；
当$a＜-\frac{1}{2}$时，原不等式的解集为$\{x\mid-\frac{1}{a}＜x＜2\}$；
当$a=-\frac{1}{2}$时，原不等式的解集为$\varnothing$；
当$-\frac{1}{2}＜a＜0$时，原不等式的解集为$\{x\mid2＜x＜-\frac{1}{a}\}$；
当$a＞0$时，原不等式的解集为$\{x\mid x＜-\frac{1}{a}$，或$x＞2\}$.
(2)$\Delta=a^{2}-16$，下面分情况讨论：
①当$\Delta＜0$，即$-4＜a＜4$时，方程$2x^{2}+ax + 2=0$无实数根，所以原不等式的解集为$ R$；
②当$\Delta=0$，即$a=\pm4$时，若$a=-4$，则原不等式等价于$(x - 1)^{2}＞0$，故$x\neq1$；若$a = 4$，则原不等式等价于$(x + 1)^{2}＞0$，故$x\neq-1$；
③当$\Delta＞0$，即$a＞4$或$a＜-4$时，方程$2x^{2}+ax + 2=0$的两个根为$x_{1}=\frac{1}{4}(-a-\sqrt{a^{2}-16})$，$x_{2}=\frac{1}{4}(-a+\sqrt{a^{2}-16})$.
此时原不等式等价于$(x - x_{1})(x - x_{2})＞0$，所以$x＜x_{1}$或$x＞x_{2}$.
综上，当$-4＜a＜4$时，原不等式的解集为$ R$；
当$a=-4$时，原不等式的解集为$\{x\mid x\in R$，且$x\neq1\}$；
当$a＞4$或$a＜-4$时，原不等式的解集为$\{x\mid x＜\frac{1}{4}(-a-\sqrt{a^{2}-16})$，或$x＞\frac{1}{4}(-a+\sqrt{a^{2}-16})\}$；
当$a = 4$时，原不等式的解集为$\{x\mid x\in R$，且$x\neq-1\}$.