《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 5] 若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角$\alpha$等于多少时，这个扇形的面积最大？

答案： [例5] [解] 设扇形的弧长为$l$.
$\because l + 2R = 20$，$\therefore l = 20 - 2R(0＜R＜10)$，
$\therefore$扇形的面积$S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}(20 - 2R)· R=-R^{2}+10R$.
$\therefore$当$R = 5 cm$时，$S$有最大值$25 cm^2$，此时，$l = 10 cm$，$\alpha=\frac{l}{R}=2 rad$，
$\therefore$当$\alpha = 2 rad$时，扇形的面积最大.

5. (1) 已知扇形的半径为 20 cm，圆心角为$30^{\circ}$，则扇形的弧长为$\frac{10\pi}{3} cm$，面积$S$为$\frac{100\pi}{3} cm^2$；
(2) 已知扇形的周长为 10 cm，面积为$4 cm^2$，则扇形圆心角的弧度数为$\frac{1}{2}$.

答案： 跟踪训练 5.答案:
(1)$\frac{10\pi}{3} cm$ $\frac{100\pi}{3} cm^2$
(2)$\frac{1}{2}lR$ 解析:
(1)已知扇形的半径为$R = 20 cm$，圆心角$\alpha = 30^{\circ}=\frac{\pi}{6}$，
所以$l = \alpha R=\frac{\pi}{6}×20=\frac{10\pi}{3}( cm)$，
$S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}×\frac{10\pi}{3}×20=\frac{100\pi}{3}( cm^2)$.
(2)设扇形圆心角的弧度数为$\theta(0＜\theta＜2\pi)$，弧长为$l cm$，半径为$R cm$，
依题意有$\begin{cases}l + 2R = 10, &①\frac{1}{2}lR = 4. &②\end{cases}$
整理得$R^{2}-5R + 4 = 0$，解得$R = 1$或$R = 4$.
当$R = 1$时，$l = 8$，此时，$\theta = 8＞2\pi$，舍去.
当$R = 4$时，$l = 2$，此时，$\theta=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
综上可知，扇形圆心角的弧度数为$\frac{1}{2}$.

1. $-300^{\circ}$化为弧度是(B)

A.$-\frac{4\pi}{3}$
B.$-\frac{5\pi}{3}$
C.$-\frac{5\pi}{4}$
D.$-\frac{7\pi}{6}$

答案： 课堂达标·素养提升 1.B $-300^{\circ}=-300×\frac{\pi}{180}=-\frac{5\pi}{3}$.

2. 已知一个扇形的半径为$\frac{5}{2}$ cm，圆心角为 2 rad，则这个扇形的面积为$\frac{25}{4} cm^2$.

答案： 2.答案$\frac{25}{4} cm^2$
解析:$r=\frac{5}{2}$，$\alpha = 2$，
所以$S=\frac{1}{2}\alpha r^{2}=\frac{1}{2}×2×\frac{25}{4}=\frac{25}{4}( cm^2)$.

3. 圆的一条弦的长度等于半径长，则这条弦所对的圆周角的弧度数为$\frac{\pi}{6}$或$\frac{5\pi}{6}$.

答案： 3.答案$\frac{\pi}{6}$或$\frac{5\pi}{6}$
解析:设该弦所对的圆周角为$\alpha$，则其圆心角为$2\alpha$或$2\pi - 2\alpha$。由于弦长等于半径长，
所以$2\alpha=\frac{\pi}{3}$或$2\pi - 2\alpha=\frac{\pi}{3}$，解得$\alpha=\frac{\pi}{6}$或$\alpha=\frac{5\pi}{6}$。

1. 三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中，设 $\alpha$ 是一个任意角，$\alpha \in \mathbf{R}$，它的终边 $OP$ 与单位圆相交于点 $P(x, y)$.

(1)把点 $P$ 的纵坐标y叫做 $\alpha$ 的正弦函数，记作 $\sin \alpha$，即 $y = \sin \alpha$.
(2)把点 $P$ 的横坐标x叫做 $\alpha$ 的余弦函数，记作 $\cos \alpha$，即 $x = \cos \alpha$.
(3)把点 $P$ 的纵坐标与横坐标的比值$\frac{y}{x}$叫做 $\alpha$ 的正切，记作 $\tan \alpha$，即 $\frac{y}{x} = \tan \alpha (x \neq 0)$.

答案： 1.
(1)纵坐标y
(2)横坐标x　
(3)纵坐标与横坐标的比值$\frac{y}{x}$