《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

答案： ∀ ∃ 全称量词 存在量词 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M,p(x)

[例1] (1)语句①$x ＞ 10$，②$10x + 1$是整数，它们是命题吗？限定①中$x \in \mathbf{R}$，②中$x \in \mathbf{Z}$，将它们改写成全称命题的形式.
(2)语句：①$10x + 1 = 15$，②$x$能被$6$和$9$整除，它们是命题吗？限定①中$x \in \mathbf{N}$，②中$x \in \mathbf{R}$，将它们改成存在量词命题的形式.

答案： [例1] [解]
(1)①②中，x范围变化时，真假不确定，因此，不是命题.若改写为全称命题，对变量x添加限定范围.
①∀x∈R,x＞10. ②∀x∈Z,10x+1是整数.
(2)①②中，x范围变化时，真假不确定，因此不是命题.若改为存在量词命题，对x添加范围限定.
即①∃x∈N,10x+1=15.
②∃x∈R,x能被6和9整除.

1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被$6$整除的数也能被$3$整除；④对于任意$x \in \mathbf{R}$，总有$x^2 \geq 0$.

答案： 跟踪训练 1.解：命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.

1.要判断全称量词命题“$\forall x \in M, p(x)$”是真命题，需要对集合$M$中每个元素$x$，证明$p(x)$成立.
要判定全称量词命题“$\forall x \in M, p(x)$”是假命题，只需举出一个反例，即在集合$M$中找到一个元素$x_0$，使$p(x_0)$不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.

答案： 1.成立 举出一个反例

2.要判定存在量词命题“$\exists x \in M, p(x)$”是真命题，只需在集合$M$中找到一个元素$x$，使$p(x)$成立即可.要判定存在量词命题是假命题，需对集合$M$中任意一个元素$x$，证明$p(x)$都不成立.

答案： 2.成立 不成立