《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例3] 函数$f(x) = 2^x$和$g(x) = x^3$的图象如图所示.设两函数的图象交于点$A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,且$x_1 ＜ x_2$.

(1)请指出图中曲线$C_1$,$C_2$分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断$f(6)$,$g(6)$,$f(2023)$,$g(2023)$的大小.
[分析] 借助指数函数与幂函数图象特征.

答案： [例3] [解]
(1)$C_1$对应的函数为$g(x)=x^{3},C_2$对应的函数为$f(x)=2^{x}$.
(2)因为$f(1)＞g(1),f(2)＜g(2),f(9)＜g(9),f(10)＞g(10)$
所以$1＜x_1＜2,9＜x_2＜10$，
所以$x_1＜6＜x_2,2023＞x_2$，
从图象上可以看出，当$x_1＜x＜x_2$时，$f(x)＜g(x)$，
所以$f(6)＜g(6)$.
当$x＞x_2$时，$f(x)＞g(x)$，
所以$f(2023)＞g(2023)$.
又因为$g(2023)＞g(6)$，
所以$f(2023)＞g(2023)＞g(6)＞f(6)$.

4. 已知$f(x) = x^2$,$g(x) = 2^x$,$h(x) = \log_2 x$,当$x \in (4, +\infty)$时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是(B)

A.$f(x) ＞ g(x) ＞ h(x)$
B.$g(x) ＞ f(x) ＞ h(x)$
C.$g(x) ＞ h(x) ＞ f(x)$
D.$f(x) ＞ h(x) ＞ g(x)$

答案： 4. B 由函数性质可知，在$(4,+\infty)$内，指数函数$g(x)=2^{x}$增长速度最快，对数函数$h(x)=\log_{2}x$增长速度最慢，所以$g(x)＞f(x)＞h(x)$.

答案： 在$(0,+\infty )$上的增减性：单调递增；单调递增；单调递增
增长结果：$a^{x}＞kx＞\log _{a}x$

[例4] 下面对函数$f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$与$g(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$在区间$(0, +\infty)$上的衰减情况说法正确的是( )

A.$f(x)$衰减速度越来越慢,$g(x)$衰减速度越来越快
B.$f(x)$衰减速度越来越快,$g(x)$衰减速度越来越慢
C.$f(x)$衰减速度越来越慢,$g(x)$衰减速度越来越慢
D.$f(x)$衰减速度越来越快,$g(x)$衰减速度越来越快

答案：
[例4] [答案] C
[解析] 画出两个函数的图象如图，由图象可知选C.