《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
如图所示：

始边:射线的起始位置$ OA $；
终边:射线的终止位置$ OP $；
顶点:射线的端点$ O $.
记法:图中的角$ \alpha $可记为“角$ \alpha $”或“$ \angle \alpha $”或“$ \angle AOP $”.

答案： 1.射线 起始 终止

2. 角的分类
按旋转方向,角可以分成三类:_______、_______、_______.

答案： 2.正角 负角 零角 逆时针 顺时针 没有

3. 相等的角
设角$ \alpha $由射线$ OA $绕端点$ O $旋转而成,角$ \beta $由射线$ O'A' $绕端点$ O' $旋转而成,如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称$ \alpha = \beta $.

答案： 3.旋转方向相同且旋转量相等

4. 角的加法、减法
(1)角的加法:设$ \alpha,\beta $是任意两个角,我们规定,把角$\alpha$的终边旋转角$\beta$,这时终边所对应的角是$ \alpha + \beta $.
(2)相反角的概念:我们把射线$ OA $绕端点$ O $按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角$ \alpha $的相反角记为$ -\alpha $.
(3)角的减法:像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样,我们有$\alpha - \beta = \alpha + (-\beta)$.这样,角的减法可以转化为角的加法.

答案： 4.
(1)把角$\alpha$的终边旋转角$\beta$
(2)按不同方向旋转相同的量 互为相反角
(3)减去一个数等于加上这个数的相反数 $\alpha - \beta = \alpha + (-\beta)$

[例1] (1)$ 60^{\circ} $角的始边与$ x $轴的非负半轴重合,把其终边按顺时针方向旋转$ 2 $周,所得的角是$-660^{\circ}$.
(2)如图①②从$ OA $旋转到$ OB,OB_1,OB_2 $时所成的角度分别是$390^{\circ}$、$-150^{\circ}$、$60^{\circ}$.

[分析] 确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量.

答案： [例1] [答案]
(1)$-660^{\circ}$
(2)$390^{\circ}$ $-150^{\circ}$ $60^{\circ}$
[解析]
(1)顺时针转2周，转了$-(2×360^{\circ}) = -720^{\circ}$。故所得角为$60^{\circ} + (-720^{\circ}) = -660^{\circ}$。
(2)题图①中的角是一个正角，$\alpha = 360^{\circ} + 30^{\circ} = 390^{\circ}$。题图②中的角一个是负角，一个是正角，$\beta = -(360^{\circ} - 210^{\circ}) = -150^{\circ}$，$\gamma = 210^{\circ} - 150^{\circ} = 60^{\circ}$。