《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 自然语言：由所有属于集合$A$且属于集合$B$的元素组成的集合，称为集合$A$与$B$的记作交集(读作“$A$交$B$”).

答案： 1.且 交集 A∩B A交B

2. 符号语言：$A \cap B =$$\{x|x\in A,且x\in B\}$.

答案： 2.{x|x∈A,且x∈B}

[例 2] (1)已知集合$M = \{(x,y) \mid x + y = 2\}$，$N = \{(x,y) \mid x - y = 4\}$，那么集合$M \cap N =$ (D)
A.$x = 3$，$y = - 1$
B.$(3, - 1)$
C.$\{ 3, - 1\}$
D.$\{(3, - 1)\}$
(2)已知集合$M = \{ x \mid - 2 \leq x ＜ 2\}$和$N = \{ y \mid y = 2k - 1,k \in \mathbf{Z}\}$的关系 Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

(B)
A. 3 个
B. 2 个
C. 1 个
D. 0 个

答案： [例2] [答案]
(1)D
(2)B
[解析]
(1)由已知得M∩N={(x,y)|x + y = 2,且x - y = 4}={(3,-1)}.
(2)由题意得，阴影部分所示的集合为M∩N,由N={y|y = 2k - 1,k∈Z}知N表示奇数集合，又由M={x|-2≤x＜2}得，在-2 ≤ x ＜ 2内的奇数为-1,1.
所以M∩N={-1,1},共有2个元素.

2. 设集合$A = \{ - 2, - 1,0,1,2\}$，$B = \{ x \in \mathbf{N} \mid - 2 ＜ x ＜ 2\}$，则$A \cap B =$$\{0,1\}$.

答案： 跟踪训练 2.答案：{0,1}
解析：由题意知B={x∈N|-2＜x＜2}={0,1},则A∩B={0,1}.

$A \cap B = A \Leftrightarrow$$A \subseteq B$，$A \cup B = A \Leftrightarrow$$B \subseteq A$.

答案： A⊆B B⊆A

[例 3] 已知集合$A = \{ x \mid 2 ＜ x ＜ 4\}$，$B = \{ x \mid a ＜ x ＜ 3a$，且$a ＞ 0\}$.
(1)若$A \cup B = B$，求$a$的取值范围；
(2)若$A \cap B = \{ x \mid 3 ＜ x ＜ 4\}$，求$a$的值.
[分析] (1)将$A \cup B = B$转化成$A \subseteq B$，再借助数轴解决.
(2)利用数轴将$A \cap B$及$A$表示出来，观察求解.
[变条件] 在本例(2)中，将条件“$A \cap B = \{ x \mid 3 ＜ x ＜ 4\}$”变为“$A \cap B = \varnothing$”，求实数$a$的取值范围.

答案：
[例3] [解]
(1)因为A∪B=B,所以A⊆B,画出数轴(如图).

观察数轴可知$\begin{cases}2\geq a,\\4\leq3a,\end{cases}$所以$\frac{4}{3} \leq a \leq 2$.
经检验端点可知符合题意，故a的取值范围为$\{a|\frac{4}{3} \leq a \leq 2\}$.
(2)画出数轴(如图),A∩B={x|3＜x＜4}.
跟踪训练 1.A 依据题意画出Venn图，

观察图形可知$\begin{cases}a = 3,\\3a\geq4,\end{cases}$即a = 3.
[变条件] 解：由于A∩B = ∅,结合数轴(图略)得a≥4或3a≤2.
又因为a ＞ 0,所以a≥4或0 ＜ a ≤ $\frac{2}{3}$.
故实数a的取值范围是$\{a|a\geq4$,或0 ＜ a ≤ $\frac{2}{3}\}$.

3. 设集合$M = \{ x \mid - 2 ＜ x ＜ 5\}$，$N = \{ x \mid 2 - t ＜ x ＜ 2t + 1,t \in \mathbf{R}\}$.若$M \cap N = N$，则实数$t$的取值范围为$\{t|t\leq2\}$.

答案：
跟踪训练 3.答案：{t|t≤2}
解析：由M∩N=N,得N⊆M.
当N = ∅,即2t + 1 ≤ 2 - t,即t ≤ $\frac{1}{3}$时,M∩N=N成立；
当N≠∅时，由图得$\begin{cases}2 - t ＜ 2t + 1,\\2t + 1\leq5,\\2 - t\geq - 2,\end{cases}$
解得$\frac{1}{3}$ ＜ t ≤ 2.
综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}.