《2025年优化探究同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 函数$y = 2 + \log_{2}x(x \geqslant 2)$的值域为 (C)

A.$(3, +\infty )$
B.$( -\infty ,3)$
C.$[3, +\infty )$
D.$( -\infty ,3]$

答案： 1.C 因为x≥2,所以$\log_2x≥1$,所以y≥3.

2. 函数$y = a^{x}(a＞0$,且$a\neq1)$的反函数的图象过点$(\sqrt{a},a)$,则$a$的值为 (B)

A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$2$或$\frac{1}{2}$
D.$3$

答案： 2.B 法一：函数y=a^x(a＞0,且a≠1)的反函数是y=$\log_ax$,故y=$\log_ax$的图象过点($\sqrt{a}$,a),则a=$\log_a\sqrt{a}=\frac{1}{2}$.
法二：由函数y=a^x(a＞0,且a≠1)的反函数的图象过点($\sqrt{a}$,a),知函数y=a^x(a＞0,且a≠1)的图象过点(a,$\sqrt{a}$),即$a^a=\sqrt{a}$,故a=$\frac{1}{2}$.

3.设$a＞1$,函数$f(x) = \log_{a}x$在区间$[a,2a]$上的最大值与最小值之差为$\frac{1}{2}$,则$a =$4.

答案： 3.答案：4
解析：
∵a＞1,
∴f(x)=$\log_ax$在区间[a,2a]上单调递增,
∴$\log_a(2a)-\log_aa=\frac{1}{2}$,即$\log_a2=\frac{1}{2}$
∴$a^{\frac{1}{2}}=2,a=4$.

4.已知函数$f(x) = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 2a^{2}})$为奇函数，则$a =$$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

答案： 4.答案：$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析：
∵函数f(x)的定义域为R,且为奇函数,
∴f
(0)=0,即$\log_a\sqrt{2a^2}=0$,
∴$\sqrt{2a^2}=1$.又a＞0,
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

答案： 在$(0,+\infty)$上的增减性：单调递增；单调递增
图象的变化趋势：一条直线；随$x$增大逐渐近似与$y$轴平行
增长速度：越来越快；即使$k$的值远远大于$a$的值，$y=a^{x}(a＞1)$的增长速度最终会超过$y=kx(k＞0)$的增长速度

[例1] (1)下列函数中,随$x$值的增大,增长速度最快的是( )
A. $y = 50x(x \in Z)$
B. $y = 1000x$
C. $y = 0.4 × 2^{x - 1}$
D. $y = \dfrac{1}{10000}e^x$
(2)四个变量$y_1, y_2, y_3, y_4$随变量$x$变化的数据如下表:

则关于$x$呈指数型函数变化的变量是_______.
[分析] 借助一次函数与指数函数模型的图象特点.

答案： [例1] [答案]
(1)D
(2)$y_2$
[解析]
(1)指数呈“爆炸式”增长.$y = 0.4×2^{x - 1}$和$y=\frac{1}{10000}e^{x}$虽然都是指数型函数，但$y=\frac{1}{10000}e^{x}$的底数e较大些，增长速度更快.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从题干表格中可以看出，四个变量$y_1,y_2,y_3,y_4$均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量$y_2$的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量$y_2$关于$x$呈指数型函数变化.